Визначення показників якості шляхом повних випробувань

Практично у всіх випадках надійність машини є основним показником її якості. Для машин знаходять застосування такі показники надійності [2]:

середнє напрацювання на відмову, T;

ймовірність безвідмовної роботи, ;

гамма-відсотковий ресурс, .

Для визначення показників надійності необхідний статистичний матеріал про відмови в експлуатації машин.

Відомо, що закон розподілу ресурсу t добре описується універсальним двохпараметричним законом Вейбулла-Гнеденко, для якого функція розподілу має вигляд

 

, (2.1)

 

де і – параметри закону.

Невідомі параметри, і можуть бути визначені аналітично або графічно.

Параметри і пов’язані з середнім напрацюванням на відмову T, середнім квадратичним відхиленням і коефіцієнтом варіації залежностями

;(2.2)

; (2.3)

 

. (2.4)

 

В формулах (2.3) і (2.4) – гамма-функція, що визначається за таблицями [2].

 

Ймовірність безвідмовної роботи в інтервалі від 0 до t

 

, (2.5)

 

де F (t)– функція розподілу ресурсу, визначувана у разі закону Вейбулла-Гнеденко співвідношенням (2.1).

Гамма-відсотковий ресурс знаходять графічно.

Довірчі межі для середнього напрацювання на відмову Т і ймовірність безвідмовної роботи обчислюють із співвідношень

 

(2.6)

 

, (2.7)

 

де – квантиль нормального розподілу, що відповідає ймовірності.

Довірчі межі для гамма-відсоткового ресурсу визначають графічно.

При повних випробуваннях всі об’єкти доводяться на відмову, і результатом випробувань є вибірка напрацювань на відмову – , i= 1, 2. .., N.

Для знаходження апроксимуючого закону розподілу напрацювання на відмову необхідне знання емпіричної функції розподілу .

З цією метою:

Весь діапазон значень випадкової величини розбивають на K інтервалів однакової довжини h. Далі визначають значення відносної частоти (частості) попадання напрацювань в і -й інтервал

 

, (2.8)

а потім емпіричну функцію розподілу :

 

(2.9)

 

при цьому в кінці останнього k -го інтервала = 1.

При графічному вписуванні теоретичного закону Вейбулла-Гнеденко і визначенні його параметрів і на спеціальному імовірнісному папері по осі абсцис відкладають значення правих меж інтервалу , а по осі ординат – відповідні даному інтервалу значення емпіричної функції розподілу , в результаті отримують точки, через які проводять пряму так, щоб вона проходила за можливість ближче до всіх точок. Побудована пряма є графіком теоретичного розподілу .

Шукані параметри а і теоретичного закону визначають (рис. 2.1) таким чином:

– безпосередньо з графіка;

 

 

де – кут нахилу прямої до осі абсцис.

Після визначення середнього напрацювання на відмову Т і значень ймовірності за формулами (2.1) і (2.6) відповідно, проводять розрахунок цих же величин з довірчими межами, використовуючи залежності (2.6) і (2.7), і будують графік (рис. 2.2).

Гамма-відсотковий ресурс знаходять графічно.

Виконання завдання 2.1.

За наслідками повних випробувань на відмову 50 машин побудувати графік ймовірності безвідмовної роботи , знайти середній Т і 80 %-й ресурси з довірчими межами ( =90 % і = 1,645) при початкових даних, відповідних напрацюванням до відмов:

190; 320; 300; 260; 540; 180; 980; 580; 740; 260; 1150; 830; 930; 370; 510; 150; 660; 190; 420; 1350; 350; 570; 490; 1080; 250; 1540; 340; 550; 930; 370; 626; 624; 622; 495; 916; 619; 496; 600; 1059; 997; 285; 416; 349; 1014; 663; 652; 639; 788; 461; 708.

З приведеного ряду значень знаходимо мінімальне =150 год і максимальне =1540 год.

Розмах вибірки

 

= 1540-150 = 1390.

 

Приймаємо число інтервалів . Довжина інтервалу

= =173,75 год, приймаємо =200 год. Результати подальших обчислень наведені в табл. 2.1, за матеріалами якої побудований графік (рис. 2.1) і розраховані:

– параметри закону розподілу Вейбулла-Гнеденко

 

=700 год; =1,3 ^.1,67=2,171.

 

– середній ресурс з довірчими межами при = 0,9; =1,65;

T= 700^.Г(1+ 649,5; σ =700 233,8;

год;

Т_max=703,8 год; Т_min=595,2 год.

 

80 %-й ресурс з довірчими межами (за графіком)

 

=350 год; =450 год; =260 год.

 

Таблиця 2.1 - Результати розрахунків за варіантом

 

№	Межі інтервалів	Число відмов машин в інтервалі	Частість	Емпіріч. функція	Теоретич. функція	Ймовірність. безвідм. роботи	Довірчий інтервал
	0-200		0,08	0,08	0,0639	0,9361	0,8790-0,9932
	200-400		0,22	0,30	0,2569	0,7431	0,6411-0,8451
	400-600		0,24	0,54	0,5113	0,4887	0,3721-0,6053
	600-800		0,22	0,76	0,7374	0,2626	0,1599-0,3653
	800-1000		0,12	0,88	0,8859	0,1141	0,0399-0,1883
	1000-1200		0,08	0,96	0,96023	0,0,977	0-0,08537
	1220-1400		0,02	0,98	0,98896	0,01104	0-0,03542.
	1400-1600		0,02	1,00	0,997574	0,002426	0-0,01391
å			1,00

 

За отриманими даними побудований (рис. 2.2) графік ймовірності безвідмовної роботи машин, на якому показані довірчі межі , 80%-й ресурс і його довірчі межі.