Определение. Функция F(х) называется первообразной функции f (х) на некотором промежутке, если для всех х из этого промежутка выполняется равенство

Погрешности.

Округление чисел.

Способ (округление с наименьшей погрешностью).

А) единицы младших разрядов отбрасываются.

В) число единиц данного разряда не меняется, если первая отбрасываемая цифра меньше 5,

И увеличивается на 1, если первая отбрасываемая цифра больше или равна 5.

Пример: округлить число до целых, до десятых, до сотых, до наивысшнго разряда.

231,7298 ≈ 232 ≈231,7 ≈ 231,73 ≈ 200.

Способ (с недостатком).

Все цифры дроби до данного разряда включительно не меняются, а цифры младших разрядов заменяются 0.

231,7298 ≈ 231≈ 231,7 ≈231,72 ≈ 200.

Способ (с избытком)

Все цифры дроби до данного разряда не меняются, данный разряд увеличивается на 1, а цифры младших разрядов заменяются 0.

231,7298 ≈ 232 ≈ 231,8 ≈231,73 ≈ 300.

Приближенные значения и погрешности приближений.

Пусть х – результат измерения некоторой величины.

А - некоторая точность измерения.

Опред. Тогда а называется приближенным значением (приближением) величины х.

Если а ≤ х, то а – приближенное значение с недостатком (приближение снизу).

Если а ≥ х, то а - приближенное значение с избытком (приближение сверху).

Таким образом, если х – точное значение,

а – приближенное значение, то

х – а – погрешность приближения.

Обозначение: ∆х = х – а → х = ∆х + а.

Т.е. истинное значение равно приближенному значению плюс погрешность.

Опред. Модуль разности точного и приближенного значений называется абсолютной погрешностью приближения, т.е. l∆хl = lх – аl.

 

Соответствия между переменными х и у.

 

 

Соответствия между множествами.

Даны два множества А и В.

Опред. Множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих и множеству А и множеству В, называется пересечением множеств А и В.

Опред. Множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих или множеству А или множеству В, называется объединением множеств А и В.

Опред. Разностью множеств А и В называют множество, состоящее из всех элементов множества А не принадлежащих множеству В.

 

 

Утверждения о числовых множествах.

 

 

Дифференцирование.

Число к = tg α называют угловым коэффициентом прямой, а угол α – углом между этой прямой и осью Ох.

Значение производной функции в точке равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке. Т.о. f ^Ι(х) = tgα = к.

При вычислении производной используются следующие правила дифференцирования суммы, произведения и частного:

1. (c f(x))'=c f'(x); c=const

2. (f(x) ± g(x))'=f'(x) ± g'(x)

3. (f(x) • g(x))'= f '(x) • g(x)+ f(x) • g'(x)

4. (f(x)) ^l = f '(x) • g(x) - f(x) • g'(x)

g(x) g²(x)

5. f(g(x))'=f '(g(x))•g'(x)

Таблица производных.

Функция	Производная
С=const
x
х p	pхp-1
1 x	-1 х2
kx+b	k
(kx+b)p	kр(kx+b)рˉ¹
√x	1 (2√х)
℮ˣ	℮ˣ
lnx	1 x
sin x	cos x
cos x	-sin x
tg x	1 cos²x
ctg x	-1 sin²x
logаx	1 x ln а
Arcsin x	1 √1-x²
Arcos x	–1 √1-x²
℮кх + в	к℮кх + в
sin (кx + в)	кcos (кx + в)
cos (кx + в)	- sin (кx + в)
ln (кx + в)	к кx + в
ах	ахlnа

Вторая производная – производная от первой производной данной функции.

 

 

 

 

 

 

 

Интегрирование.

Определение. Функция F(х) называется первообразной функции f (х) на некотором промежутке, если для всех х из этого промежутка выполняется равенство

F^l(х) = f(х).

 

 

Таблица первообразных.

 

функция	первообразная
	х + С
х р, р ≠ - 1	х р+1 + С р+1
1 х, х > 0	ℓn х + С
ех	ех + С
sin х	- cosх + С
cosх	sin х + С

 

(кх+в)р, р ≠ - 1, к ≠ 0	(кх+в) р+1 + С к(р + 1)
1 кх +в, к ≠ 0	1 · ℓn(кх + в) + С к
е кх + в, к ≠ 0	1 · е кх + в + С к
sin(кх+в), к ≠ 0	- 1 · cos(кх+в) + С к
сos(кх+в), к ≠ 0	1 · sin(кх+в) +С к

 

В в

∫ f(х) dх = F(х) = F(в) – F(а). о П а а

 

 

 

Метод замены переменной заключается в том, чтобы для подынтегрального выражения f(х)dx подбирают такую функцию у = φ(х), чтобы подынтегральное выражение могло быть записано в виде f(х)dx = g(φ(x) · φ′ (x)dx.

В данных примерах подстановка уже дана. Необходимо заменить dx на dt.