Параметры типовых импульсов

1. Активная длительность фронта экспоненциальной формы. Фронтовая часть импульса часто выражается ана­литически экспоненциальной функцией времени (рис. 7)

 

, (2.10)

 

где 1/β =θ — постоянная времени экспоненты.

Согласно формуле (2.3), активная длительность фронта определяется моментами t^’_0,1 и t^’_0,9, в которые величина им­пульса равна соответственно 0,1А и 0,9A; эти моменты на­ходятся из уравнений

 

Так как β t^’_0,1 < < 1, то уравнение (а) можно упростить, используя для этого первые два члена разложения в ряд функции

 

Подставив последний двучлен в уравнение (а), получим

(в)

Решая уравнение (б), найдем

(г)

 

Учитывая равенства (в) и (г), из формулы (3) получим

 

(2.11)

 

Таким образом, активная длительность фронта экспонен­циальной формы в 2,2 раза больше постоянной времени θ.

2. Экспоненциальный импульс. Определим активную длительность экспоненциального импульса (рис. 8), выра­жаемого функцией

(2.12)

где 1/β =θ — постоянная времени экспоненты.

Рис. 7. Рис. 8.

Согласно формуле (2.2) активная длительность импульса определяется моментами t’_0.5 и t’’_0.5, в которые величина импульса равна 0,5А. Так как в данном случае длительность фронта импульса равна нулю, то t’_0.5 =0. Момент t’’_0.5 — корень уравнения

 

Подставляя найденные значения в формулу (2.2), получим
(2.13)

 

Таким образом, активная длительность экспоненциального импульса доставляет примерно 70% от постоянной времени θ.

3. Экспоненциальный импульс лишен плоской вершины, После мгновенного достижения высоты А сразу же начинается срез импульса Найдем его длительность. Замечаем, что при t > 0 функция (2.12) может быть представлена в виде разности А—[А (1 — e^—βt)], где выражение в квадратных скобках совпадает с функцией (2.10). Следовательно, как это вытекает из формул (2.3), определение длительности среза экспоненциального им­пульса не отличается от определения длительности фронта, изменяющегося по экспоненциально-му закону (см. п. 1), поэтому ак­тивная длительность среза экспоненциального импульса

 

t_c = 2,2θ (2.14)

 

4. Двухэкспоненциальный импульс — импульс, выра­жаемый разностью двух экспоне-нциальных функций:

 

(2.15)

 

он имеет вид, показанный на рис. 9. Здесь при положитель­ной полярности импульса

β₁< β₂, и экспонента с постоян­ной времени θ₂ = 1/ β₂ определяет, в основном, восходя­щую часть импульса (фронт), а экспонента с постоянной времени θ₁ = 1/ β₁ определяет, в основном, падающую часть импульса (срез). В формуле (2.15) величина В не равна вы­соте А импульса, что ясно из приведенного на рис. 10 (в не­сколько уменьшенном масштабе) построения; здесь пунктир­ными линиями изображены графики двух составляющих

 

функции (2.15), разность которых представляет график рас­сматриваемого импульса. Как видно, В > А.

Рис. 9. Рис. 10.

Продифференцировав функцию (2.15) по времени, из условия da/dt=0 можно найти момент в который функция a(t) достигает максимума a_max = a(t_m) =A. Отсюда можно найти высоту импульса

 

 

График зависимости k_m = k_m(γ) приводится на рис. 11. Он позволяет по заданию величины В найти высоту А из равенства (2.16). При малых значениях γ < 2 высота

А<< В; при γ > 10 высота А приближается к В.

5. Из численного решения трех трансцендентных урав­нений

Рис 11.

находятся моменты времени t’_0.5, t’’_0.5, t’_0.1, t’_0.9, которые в соответствии с формулами (2.2) и (2.3) определяют активные длительности t_и и t_ф. По данным таких вычислений постро-ены представленные на рис. II графики функций β₁t_и = F_и(γ) и β₁t_ф = F_ф(γ); они позволяют по заданным зна­чениям β₁ и β₂ (или θ₁ и θ₂) найти активные длительности t_и и t_ф. В практически наиболее важных случаях (γ > 1,5) можно (с погрешностью менее 10%) пользоваться прибли­женными формулами:

 

 

Из этих формул видно, что при γ → ∞ длительности t_и → 0,7/β₁ и t _ф → 0. Такой результат согласуется с тем, что при γ → ∞ также и β₂ → ∞, т. е. двухэкспоненциальный импульс вырождается в экспоненциальный импульс.

7. Колокольный импульс (рис. 12) выражается функцией

 

(2.22)

 

Рис. 12.

 

 

широко применяемой в теории вероятностей. Импульс такой формы играет особую роль в технике приема импульсных сигналов (в шумах): при таком импульсе смягчается проти-воречие между требованием сосредоточения энергии импульса во времени и требованием сосредоточения энергии импульса в спектре. Для сравнения укажем, что прямоугольный импульс наилучшим образом удовлетворяет первому требованию, но обладает чрезмерно широким спектром.

В соответствии с формулой (2.2), из условия (рис. 12)

находим (после логарифмирования) активную длительность

(2.23)

Максимальная крутизна импульса, определяемая из условия d²a/dt² = 0, соответствует моментам

(2.24)

 

где учтено соотношение (2.23). Подставляя значение t = t_и в формулу (2.22), получим

 

(2.25)

 

Моменты ± t_0,1 и ± t_0,9, в которые величина импульса равна соответственно 0,1 А и 0,9 А, находятся из уравнений

 

 

Отсюда активные длительности фронта и среза импульса

(2.26)

 

АКТИВНАЯ ШИРИНА СПЕКТРА ИМПУЛЬСОВ

1. Основные характеристики импульсных сигналов выражаются через временные и

амплитудные параметры. Соответственно основной математический аппарат импульсной техники — аппарат интегро-дифференциальных уравнений, решаемых обычно операционным методом. Однако если импульсный процесс описывается дифференциальным уравнением высокого порядка, строгое или приближенное решение которого оказывается чрезмерно трудным или громоздким, то приходится прибегать к качественным спектральным представлениям. В таких случаях импульс той или иной

формы характеризуют активной шириной спектра (Δf)_с, а цепь, подверженную действию импульса - шириной полосы пропускания (Δf)_п. Затем устанавливают приближенное соотношение между (Δf)_с и (Δf)_п отвечающее требованиям конкретной задачи.

2. Известно, что основная энергия видео импульса сосредоточена в низкочастотной

части его энергетического спектра S² = F(f) (рис. 17). При оперировании с «гладкими» (без существенного проявления наложенные паразитных колебаний) импульсами удовлетворительный результат качественного спектрального анализа получается в случае, если активная ширина спектра импульса определяется тем диапазоном частот от f = 0 до некоторой верхней частоты f_в = (Δf)_с, в котором сосредоточено 95% полной энергии импульса [ (Δf)_с = (Δf)_0,95 ].

Рис. 17.