Соединение резистивных элементов звездой и треугольником

Схему замещения цепи в виде трехлучевой звезды из резистивных элементов можно заменить эквивалентной схемой в виде треугольника, и наоборот. Такое преобразование применяется при расчетах сложных цепей постоянного тока и трехфазных цепей

Эквивалентность схем в виде треугольника и звезды получается приравниванием значений сопротивления или проводимостей между одноименными узлами этих схем, соединенных от остальной части схемы.

Найдем сопротивление между узлами а и b. Проводимость между узлами а и Ь в схеме соединения треугольником равна;

Сопротивление между узлами а и b — величина, обращая проводимости между этими узлами, т.е

В схеме соединения звездой сопротивление между узлами а и b равно сумме сопротивлений двух ветвей: R_a + R_b.

Условием эквивалентности является равенство

Где - сумма сопротивлений всех ветвей в схеме соединения
треугольником.

Циклическая перестановка индексов в определяет условия равенства сопротивлений между одноименными узлами b и с и между узлами с и а схем треугольника и звезды

 

 

Сложив и и вычтя из этой суммы), найдем выражение для сопротивления ветви звезды:

Циклическая перестановка индексов в определяет выражения для сопротивлений двух других ветвей звезды:

 

При равенстве сопротивлений ветвей треугольника (R_ab = R_bc = R_ac) сопротивления ветвей эквивалентной звезды тоже одинаковы:

Возможно обратное преобразование звезды из резистивных элементов в эквивалентный треугольник. Для этого умножим попарно выражения и сложим полученные произведения:

 

Разделив это соотношение на, определим сопротивление ветви треугольника:

Циклическая перестановка индексов определяет выражения для сопротивлений двух других ветвей треугольника:

 

 

ЗАКОН ОМА. ЗАКОНЫ КИРХГОФА

Под законом Ома понимают все соотношения, связывающие между собой напряжение и ток. По закону Ома напряжение на резистивном элементе пропорционально току в нем. Коэффициент пропорциональности назван сопротивлением: . Закон Ома можно сформулировать и относительно тока: , где G – проводимость, величина, обратная сопротивлению , проводимость измеряют в сименсах (См).

Геометрической интерпретацией закона Ома является вольт – амперная характеристика. Для линейного элемента она имеет вид прямой линии (рисунок 2.1).

Первый закон Кирхгофа

Первый закон Кирхгофа сформулирован для узла (точки на схеме, где сходится не менее трех ветвей). По первому закону Кирхгофа алгебраическая сумма токов в любом узле электрической цепи в каждый момент времени равно нулю. Для цепей синусоидального тока это означает, что в ветвях, сходящихся в любом узле, алгебраическая сумма мгновенных значений токов равна нулю:

Где n – число ветвей, сходящихся в узле.

Правило знаков: токи, одинаково направленные относительно узла, записываются с одинаковыми знаками.

Второй закон Кирхгофа

Второй закон Кирхгофа относиться к контуру (замкнутый путь, проходящий по нескольким ветвям так, что ни одна ветвь и ни один узел не встречается больше одного раза).

Алгебраическая сумма напряжений на приемниках в любом контуре, равна алгебраической сумме ЭДС, действующих в этом же контуре. В цепях синусоидального тока значения различных ЭДС и значения напряжений на пассивных элементах любого контура непрерывно изменяются. Но алгебраические суммы мгновенных значений напряжений и ЭДС одинаковы.

Где n и m – соответственно числа пассивных элементов и ЭДС в контуре. В этих выражениях считаем, что все синусоидальные напряжения и ЭДС , для которых положительные направления совпадают с произвольно выбранным направлением обхода контура, записывается со знаком +, и в противном случае -.