ДУ высших порядков.Общие и частные решения

Общий вид диф. уравнения порядка n: F(x,y,y’, y”, …, y⁽ⁿ⁾)=0. Иногда из этого уравнения можно выразить производную y⁽ⁿ⁾, тогда получается уравнение: y⁽ⁿ⁾= f(x,y,y’, y”, …, y⁽ⁿ^-1)) (1). Такое уравнение называется разрешенным относительно старшей производной. Теорема. Если в уравнении (1) ф-ция y⁽ⁿ⁾= f(x,y,y’, y”, …, y⁽ⁿ^-1)) и ее частная производная по переменным y,y’, …, y⁽ⁿ^-1)непрерывны в некот. бласти, содержащей точку х=х₀, у=у₀, y’= y’₀, y⁽ⁿ^-1)= y⁽ⁿ^-1)₀, то существует единственное решение этого уравнения (1), удовлетворяющее условию:

у(х₀)= у₀,

y’(х₀)= y’₀

y⁽ⁿ^-1)(х₀)= y⁽ⁿ^-1)₀, где х₀, у₀, y’₀,y⁽ⁿ^-1)₀- заданные числа

Условие (2) называется начальным условием для диф. уравнения (1). Например, диф. уравнение 2-ого порядка разрешенного относительно старшей производной имеет вид y”= f(x,y,y’). Начальным условием для него будет 2:

у(х₀)= у₀,

y’(х₀)= y’₀

Определение Общим решением диф. уравнения n-ого порядка называется ф-ция

(3), кот зависит от x и n – произвольных постоянных

, и удовлетворяет след условиям: 1) Ф-ия явл. решением уравнения (1) при разных значениях произвольных постоянных. 2) Какого бы ни были начальные условия вида (2) путем выбора произвольных постоянных можно добиться, чтобы эти условия выполнялись. Предполаг., что точка (х₀, у₀, y’₀,y⁽ⁿ^-1)₀) принадлежит области существования решения.. Определение Решить или проинтегрировать диф. уравнение – это значит 1) найти общее решение этого диф. уравнения, если начальные условия не заданы, 2) найти частное решение этого уравнения, удовлетв. Начальным условиям, если эти условия заданы.

ДУ 1-го порядка.Общие и частные решения

Для нахождения общего решения неоднородного уравнения (1) воспользуемся методом вариации постоянной. Этот метод состоит в том, что решение уравнения (1) ищут в форме (3), где постоянную С считают не постоянной, а новой неизвестной ф-цией у = С(х)е

(4). Подставляем (4 в (1), получаем диф. уравнение для ф-ии С(х)

. Интегрируем обе части по х, получим:

, подставляем это выражение в (4), получаем общее решение неоднородного диф. уравнения(1):

. Мы видим, что общее решение неоднородного уравнения (1) равно сумме общего решения соответств. Однородного уравнения (1-ое слагаемое) и частного решения неоднородного ур-ния, кот получается при нулевом значении произвольной постоянной.

Интегрирующий множитель

Иногда, когда уравнение вида

не явл. ур-нием в полных диф-лах, можно подобрать функцию М(х,у) после умножения обеих частей этого уравнения, на кот это уравнение становится уравнением в полных дифференциалах. Такая функция М(х,у) называется интегрирующим множителем. Полученное в рез-те умножения уравнения М(х,у)М(х,у)dx+M(x,y)N(x,y)=0 (1) имеет те же самые решения, что и в уравнении (1). Задача нахождения интегрирующего множителя М(х,у) в общем случае явл. довольно сложным. Но в некот. Частных случаях она довольна проста и легко применяется на практике. 1)

не зависит от у, то уравнение (1) имеет интегральн. множитель:

, 2) если выражение

не зависит от х, то уравнение (1) имеет интегрирующий множитель: