Лінійні регресійні моделі фінансового ринку

Кожен цінний папір - акція, облігація, контракт та інші - в кожен момент часу має вартість, яка називається курсом і встановлюється ринком (зазвичай як результат біржових котирувань). Навіть маючи усю повноту інформації про емітента, що випустив папір, однозначно визначити його курс в деякий момент часу в майбутньому, як правило, неможливо. В цьому випадку найприродніше розглядати курс цінного паперу, як значення випадкової величини X.

Нехай - курс цінного паперу у момент часу t, a - у момент часу t+ 1 (зазвичай одиниця часу - це проміжок між котируваннями). Звернемося до випадку, коли момент часу t вже настав, а моменту t +1 ще ні. Розглянемо величину . Оскільки - випадкова величина, то і r - теж випадкова величина. Вона називається прибутковістю цінного паперу. Очевидно, що значення саме цієї величини визначає привабливість цінного паперу для інвестора. І одне з головних завдань фінансового аналізу полягає в можливо точнішому передбаченні значення величини r.

Регресійні моделі

 

Моделі, що розглядаються у фінансовому аналізі, зв'язують випадкову величину r з величинами, які об'єктивно характеризують фінансовий ринок у цілому. Такі величини називаються чинниками. Залежно від постановки завдання чинники можуть вважатися як випадковими, так і детермінованими, тобто точно відомими величинами. У найпростішому випадку виділяється один чинник. Тоді статистична модель має вигляд:

( 1 )

Тут α і β - постійні (невідомі параметри), ε - випадкова величина, що задовольняє умові: M_F( ε ) = 0, де M_F( ε ) - умовне математичне сподівання випадкової величини ε відносно F. З цього припущення виходить, що і безумовне математичне очікування величини ε також дорівнює нулю. Насправді: M (ε) = M (M_F (ε)) = 0.

Звідси також слідує, що якщо чинник F розглядається як випадкова величина, то її коваріація з ε дорівнює нулю. Дійсно, використовуючи властивості умовного математичного сподівання, отримуємо:

cov(F, ε ) = M(F ε )-M(F)M( ε ) = M(F ε ) = M(M_F(F ε )) = M(FM_F( ε )) = 0.

Значення коефіцієнтів α і β неважко визначити через числові характеристики r і F: cov(r,F)= β cov(F,F)+cov( ε ,F), а бо cov(r,F) = β cov(F,F).

Звідки . Перейшовши в рівнянні моделі (1) до математичних сподівань, отримаємо: M (r) = α + β M (F) + M (ε).

Але M (ε) = 0, тому .

Коефіцієнт β називається чутливістю прибутковості цінного паперу до чинника F. Коефіцієнт α називається зсувом. У класичному регресійному аналізі значення чинників F вважаються детермінованими величинами, тобто модель (1) має вигляд: r_t = α + β F_t + ε _t. Тут t =1,..., n - моменти часу - інтерпретуються як номер спостереження; F ₁,..., F_n - відомі значення чинників; r_t - спостережувані вибіркові значення випадкової величини r; α і β - невідомі параметри. Їх оцінки можна побудувати методом найменших квадратів:

Різні моделі фінансового ринку розглядають різні величини в якості чинника F. Розглянемо далі основні з цих моделей.

 

Ринкова модель

 

Одна з найпоширеніших моделей використовує як чинник F прибутковість ринкового індексу r_M. Ринковим індексом називається зважена сума курсів акцій найбільш значних емітентів фінансового ринку. Наприклад, в США найбільш поширені наступні індекси:

DJ (індекс Доу-Джонса) - розраховується за 30 найбільш значущим корпораціям, таким як Microsoft, Coca Cola, General Motors і так далі;

індекс S&P 500 (Standard and Poor's) - розраховується по 500 найбільш великим компаніям;

зведений індекс NYSE - для його розрахунку використовуються курси акцій, зареєстрованих на Нью-Йоркській фондовій біржі.

Очевидно, ринковий індекс певною мірою відбиває стан економіки в цілому. Отже ринкова модель показує, наскільки прибутковість цінного паперу відповідає економічній динаміці країни (або навіть співтовариства країн). Випадкова величина ε характеризує залежність прибутковості цінного паперу від обставин, специфічних саме для її емітента.

Прибутковість ринкового індексу по суті є усередненою прибутковістю різних цінних паперів. Якщо розглядати безліч усіх цінних паперів, що фігурують на ринку, то коефіцієнт β навмання вибраного цінного паперу є значенням випадкової величини (позначимо її тією ж буквою β). Якщо цінний папір включений в індекс, то за самим визначенням індексу має місце рівність: М (β)=1. Якщо конкретне спостережуване значення цінного паперу більше одиниці, значить, її прибутковість росте в середньому швидше, ніж ринок в цілому. Такі папери називаються "агресивними"; папери з коефіцієнтом β, меншим одиниці, називаються "оборонними".

◄ Приклад 1 Значення прибутковості акцій Widget Manufacturing і прибутковості індексу дані в таблиці 1. Оцінити залежність прибутковості акцій від прибутковості індексу.

Розв’язання. Метод найменших квадратів дає наступні результати:

β =0,63; α=0,79. Стандартні помилки σ_β=0,28; σ_α=2,03 коефіцієнт детермінації R ²=0,27. Отримані характеристики свідчать про те, що прибутковість акцій Widget Manufacturing істотно залежить від ринкового індексу. Як видно, акції Widget Manufacturing є "оборонними".►

На фінансовому ринку присутні і папери з нульовим коефіцієнтом β. В цьому випадку має місце співвідношення r = r_f, звідки випливає, що очікувана прибутковість цінного паперу фіксована і не залежить від стану ринку в цілому. Така ситуація характерна, наприклад, для облігацій.