Перевірка гіпотез про числові значення параметрів

Гіпотези про числові значення зустрічаються у різноманітних задачах.

В загальному випадку гіпотези такого типу мають вигляд Н ₀: θ = Δ ₀, де θ — деякий параметр розподілу, що досліджується, а Δ ₀ — область його конкретних значень, що в частковому випадку складається із одного значення. Під час перевірки гіпотези вказаного типу можна використовувати той же підхід, що і раніше. Відповідні критерії перевірки гіпотез про числові значення параметрів нормального закону надані в табл. 4.1.

◄ Приклад 4.5 На основі зробленого прогнозу середня дебіторська заборгованість однотипних підприємств регіону повинна скласти а ₀ = 120 грош. од. Вибіркова перевірка 10 підприємств дала середню заборгованість x = 135 грош. од., а середнє квадратичне відхилення заборгованості s = 20 грош. од. На рівні значущості 0,05: а) визначити, чи можна прийняти даний прогноз; б) знайти потужність критерію, використаного в п.а); в) знайти мінімальне число підприємств, яке варто перевірити, щоб забезпечити потужність критерію 0,975.

Розв’язання. а) Гіпотеза, що перевіряється, Н ₀: . Альтернативна - гіпотеза Н ₁: . Оскільки генеральна дисперсія σ² невідома, то використаємо t -критерій Стьюдента. Статистика критерію у відповідності до табл. 4.1 дорівнює . Критичне значення статистики . Оскільки (2,25 > 1,83), то гіпотеза Н ₀ відкидається, тобто на 5%-вому рівні значущості зроблений прогноз повинен бути відкинутий.

б) Оскільки a ₁=135> a ₀=120, то критична область правостороння і критичне значення вибіркового середнього

(грош. од.). Тобто критична область значень для x — інтервал (132,2;+∞).

Потужність критерію дорівнює ,

де — функція, що виражає ймовірність попадання випадкової величини, яка має t -розподіл Стьюдента, на відрізок (-t, t)

.

За таблицею:

Отже, .

в) Скористаємось розв’язком прикладу 4.1 б). Оскільки у нас σ² невідома, а відома лише її вибіркова оцінка s ², то статистика критерію має t -розподіл Стьюдента (див. табл. 4.1), і відповідна скорегована формула для n прийме вигляд: . При α=0,05, β=0,025 (тому що за умовою потужність критерію 1-β=0,975), а ₀=120, а ₁=135, s =20 отримаємо: . Оскільки права частина рівності сама залежить від невідомого значення n, то n знаходиться наближено підбором. Так, при n =20, n =30, рівність не виконується (наприклад, при n =20 ), а при n =25 .

Таким чином, необхідно перевірити 25 підприємств.►

Таблиця 4.1

Нульова гіпотеза	Припущення	Статистика критерію	Альтернативна гіпотеза	Критерій відхилення гіпотези
а = а0	σ2 відома
σ2 невідома
	а невідомо			або
p=p 0	n достатньо велике

Аналогічно перевіряються і інші гіпотези про числові значення параметрів у відповідності до критеріїв перевірки, наведених у табл. 4.1.

Побудова теоретичного закону розподілу за дослідними даними.