Статистическая обработка случайной величины Y

1. Проведем первичную обработку данных.

Ymin=0,014; Ymax=0,05.

Все остальные значения наблюдаемой величины находятся в промежутке [Ymin;Ymax]. Разобьем отрезок на интервалы равной длины.

Найдем длину частичного интервала.

 

 

За начало первого интервала a0 возьмем значение случайно величины, равное Ymin-h/2

Для каждого из полученных интервалов найдем правый конец по формуле аi=аi-1+h, i=1,….11.

Будем считать полученные интервалы закрытыми слева.

Далее подсчитаем число значений случайно величины X, попавших в каждый из полученных интервалов (используем функцию ЧАСТОТА).

Вычислим относительные частоты W(i)=n(i)/n

Также для составления дискретного ряда распределения случайной величины найдем середины полученных интервалов x(i).

Результаты вычислений представим в таблице (5).

 

 

Таблица 5.

 

a	интервалы	n(i)	w(i)	y(i)
a1	0,0122	0,0158		0,04	0,014
a2	0,0158	0,0194		0,06	0,0176
a3	0,0194	0,023		0,16	0,0212
a4	0,023	0,0266		0,19	0,0248
a5	0,0266	0,0302		0,25	0,0284
a6	0,0302	0,0338		0,09	0,032
a7	0,0338	0,0374		0,11	0,0356
a8	0,0374	0,041		0,05	0,0392
a9	0,041	0,0446		0,02	0,0428
a10	0,0446	0,0482		0,01	0,0464
a11	0,0482	0,0518		0,02	0,05
Сумма

2. Построим гистограмму и полигон относительных частот:

3. Вычислим числовые характеристики выборки.

Для удобства вычислений числовых характеристик выборки составим таблицу (6).

n(i)	y(i)	y(i)*n(i)	(x(i)-x(вх))^2*n(i)	(y(i)-y(вх))^3*n(i)	(x(i)-x(вх))^4*n(i)
	0,014	0,056	0,000772395	-1,07332E-05	1,49149E-07
	0,0176	0,1056	0,000636046	-6,54873E-06	6,74257E-08
	0,0212	0,3392	0,000717383	-4,80359E-06	3,21649E-08
	0,0248	0,4712	0,000182119	-5,63841E-07	1,74565E-09
	0,0284	0,71	6,3504E-06	3,2006E-09	1,6131E-12
	0,032	0,288	0,000151585	6,22106E-07	2,55312E-09
	0,0356	0,3916	0,000652868	5,02969E-06	3,87488E-08
	0,0392	0,196	0,000638902	7,22215E-06	8,16392E-08
	0,0428	0,0856	0,000444258	6,62123E-06	9,86828E-08
	0,0464	0,0464	0,000342398	6,33573E-06	1,17236E-07
	0,05	0,1	0,000977174	2,15994E-05	4,77434E-07
		2,7896	0,005521478	2,47842E-05	1,06678E-06

 

 

 

 

4. Установим тип распределения случайной величины.

В нашем примере вид полигона позволяет сделать предположение о том, что распределение наблюдаемой величины следует нормальному закону. Проверим эту статическую гипотезу.

Сформулируем нулевую H0 и конкурирующую H1 гипотезы. согласно условию задачи.

H0: распределение случайной величины Х следует по нормальному закону.

H1: случайная величина Х не подчиняется нормальному закону распределения.

Проверим гипотезу H0, пользуясь критерием согласия Пирсона.

Предполагая, что гипотеза H0 верна, найдем теоретические вероятности попадания случайной величины X в интервал по формуле:

 

Где Ф(х)- функция Лапласа.

Затем найдем теоретические частоты np и наблюдаемое значение статистики критерия Пирсона.

 

Для вычисления функции Лапласа используем функцию НОРМСТРАСП.

Также найдем χ^2(кр) по заданному уровню значимости и числу степеней свободы.

Составим таблицу (7) расчетов.

 

Таблица 7.

Интервалы	n(i)	p(i)	np(i)	(n(i)-np(i))^2\np(i)
0,0122	0,0158		0,034475	3,447462	0,08855722
0,0158	0,0194		0,074684	7,468396	0,288708137
0,0194	0,023		0,128532	12,85324	0,77039784
0,023	0,0266		0,175744	17,57437	0,115646176
0,0266	0,0302		0,190917	19,09166	1,828469265
0,0302	0,0338		0,164781	16,47812	3,393731025
0,0338	0,0374		0,112997	11,29966	0,007946703
0,0374	0,041		0,06156	6,156006	0,217080808
0,041	0,0518		0,038304	3,830364	0,357158756
Сумма			0,981993	98,19928	7,067695931

 

χ^2(набл)=7,067695931

χ^2(кр)= 12,59158724

χ^2(набл)< χ^2(кр)

Отсюда следует, при данном уровне значимости выдвинутая гипотеза H0 согласуется с экспериментальными данными.

 

Cоставим корреляционную таблицу, записав вместо интервалов соответствующие им середины.

Таблица 8.

	2,8	4,12	5,44	6,76	8,08	9,4	10,72	12,04	13,36	14,68		ny
0,014													0,434
0,0176													0,64416
0,0212													2,041136
0,0248													3,578144
0,0284													5,136992
0,032													1,98912
0,0356													2,647216
0,0392													2,35984
0,0428													0,748144
0,0464													0,191168
0,05													1,072
nx													20,84192

 

По данным корреляционной таблицы, вычислим корреляционный момент.

 

Kxy=0,005113152

 

rв=Kxy/Sx*Sy=0,266151155

 

Найдем выборочное уравнение регрессии Y и X (используем MathCad)

 

yx=yв+ rв*Sy/Sx*(x-xв)= 0.00077265952940781091771*x+0.022264857349675874032

xy=xв+ rв*Sx/Sy*(y-yв)= 91.678720848916679466*y+4.7305304031986203096

 

Проверка:

 

 

Для подтверждения гипотезы о существовании линейной зависимости между исследуемыми случайными величинами X u Y построим корреляционное поле. Для этого изобразим результаты измерений в виде точек в декартовой системе координат. Также построим на этом рисунке полученные прямые, определяемые полученными уравнениями линий регрессий.