Аппарат геометрического моделирования

На плоских чертежах детали и сооружения изображают в результате операции проецирования. Наиболее простыми и удобными для построений являются чертежи, построенные по методу параллельного ортогонального проектирования на взаимно перпендикулярные плоскости проекций. При этом можно получать неискаженную форму плоских частей детали и наносить размеры, но утрачивается наглядность, так как вырождается одно из измерений объекта. Зрительному восприятию соответствует центральные (перспективные) проекции. Форму пространственных деталей образуют точки, линии, плоскости и поверхности. На плоском чертеже находят отображение только точки и линии. Плоскости и поверхности изображаются соответствием точек и линий, так как их нельзя выделить на плоскости. Точка чертежа может быть моделью как одной или нескольких точек, так и прямой линии, расположенной перпендикулярно к плоскости проекций. Прямая линия на чертеже может быть моделью как одной или нескольких прямых линий, так и плоской кривой линии или плоскости, расположенной перпендикулярно к плоскости проекций. В пространстве прямые линии в общем случае скрещиваются. На плоскости прямые линии пересекаются или параллельны между собой. В дальнейшем мы будем заниматься небольшой группой геометрических моделей, которые особенно часто встречаются в инженерном деле. При конструировании этих моделей, размещенных в трехмерном пространстве, широкое применение находит операция проецирования. Условимся называть моделируемое геометрическое множество исходным пространством. Геометрический образ, внутри которого строится модель, назовем картиной. После того как задано исходное пространство, выбраны картина и модель, требуется установить конструктивную связь, позволяющую переходить от элементов первого множества к элементам второго и наоборот. Конструктивную связь можно установить различными способами, например, с помощью линейной конгруэнции или с помощью окружностей, имеющих центр на прямой линии. Остановимся на часто встречающемся в инженерной практике способе, называемым методом центрального проецирования. В пространстве выбираем точку S и плоскость p (рис.1.7, а). Точка S называется центром проецирования, а плоскость p – плоскостью проекций или картиной. Для получения модели через центр S и точку пространства A проводим проецирующий луч. Отмечаем точку пересечения проецирующего луча с картиной и получаем проекцию точки A₁. Схема проекционного аппарата с бесконечно удаленным центром S называется параллельным проецированием (рис.1.7, б). Все проецирующие лучи при этом параллельны между собой. Если при параллельном проецировании проецирующие лучи перпендикулярны к плоскости проекций p, то возникает прямоугольное (или ортогональное) проецирование (рис.1.7, в). В противном случае имеем косоугольное параллельное проецирование.

На основании известных положений стереометрии нетрудно установить следующие основные свойства операции проецирования: 1) проекцией точки является точка; 2) проекцией прямой линии в общем случае является прямая линия (в частном случае может быть точка); 3) если точка лежит на прямой линии, то ее проекция лежит на проекции прямой линии; 4) при параллельном проецировании проекции прямых параллельных линий параллельны между собой; 5) при параллельном проецировании простое отношение отрезков прямых линий в проекциях сохраняется; 6) при параллельном проецировании плоская фигура, параллельная плоскости, проецируется в равную фигуру; 7) при ортогональном проецировании если одна из сторон прямого угла параллельна плоскости проекций, то прямой угол проецируется в натуральную величину.

а) б) в)

Рис. 1.7. Операции проецирования:

а – центральное, б – косоугольное параллельное, в – ортогональное