Позиционные и непозиционные системы счисления

Лабораторная работа № 2

Системы счисления и кодирования; двоичная арифметика.

Цель и содержание

Ознакомить студентов с двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системами счисления. Научить студентов производить арифметические действия в двоичной системе счисления.

Данное практическое занятие содержит сведения о существующих системах счисления, приводится методика выполнения арифметических операций в двоичной системе счисления.

Теоретическое обоснование

Позиционные и непозиционные системы счисления

Система счисления (CC) – это совокупность набора символов (цифр) и правил, используемых для записи чисел. СС делятся на:

– позиционные;

– непозиционные.

В позиционной СС (ПСС), значение символа зависит от позиции в которой он находится. Примером позиционной системы счисления является десятичная система.

Пример 2.1. Рассмотрим десятичное число 737.7.

В исходном числе цифра 7 встречается три раза, однако значение этого символа во всех трех позициях различно. Первая семерка слева имеет вес сотен, вторая – вес единиц, а третья – вес десятых долей.

Непозиционными являются такие системы, в которых каждый символ сохраняет свое значение независимо от места его положения в числе. Непозиционной СС является римская система. К недостаткам таких систем относятся наличие большого количества знаков и сложность выполнения арифметических операций.

Пример 2.2. Рассмотрим числа представленные в римской СС: IX, XI, VII. Во всех этих числах встречается символ I (единица). В первом числе он стоит во второй позиции, во втором – в первой, а в третьем сразу в двух – второй и третьей. Однако во всех этих позициях значение символа остается равным единице.

Основной характеристикой ПСС является основание. Оно указывает на количество символов, употребляемых в ПСС, определяет название ПСС и обозначается p. Например, в десятичной системе используются десять цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, следовательно основание этой ПСС p =10.

В ЭВМ применяют следующие ПСС: двоичную, восьмеричную, шестнадцатеричную. Основной СС применяемой в ЭВМ является двоичная система. Это связано с тем, что в аппаратной основе ЭВМ лежат двухпозиционные элементы, которые могут находиться только в двух состояниях; одно из них обозначается 0, а другое – 1.

Двоичная система счисления. Используется две цифры: 0 и 1. В двоичной системе любое число может быть представлено в виде:

N = b_nb_n-1... b₁b₀. b_-1b_-2...

где b_j либо 0, либо 1.

Восьмеричная система счисления. Используется восемь цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Употребляется в ЭВМ как вспомогательная для записи информации в сокращенном виде. Для представления одной цифры восьмеричной системы используется три двоичных разряда (триада) (Таблица 1).

Шестнадцатеричная система счисления. Для изображения чисел употребляются 16 цифр. Первые десять цифр этой системы обозначаются цифрами от 0 до 9, а старшие шесть цифр - латинскими буквами: 10-A, 11-B, 12-C, 13-D, 14-E, 15-F. Шестнадцатеричная система используется для записи информации в сокращенном виде. Для представления одной цифры шестнадцатеричной системы счисления используется четыре двоичных разряда (тетрада) (Таблица 2.1).

Таблица 2.1 – Позиционные системы счисления

Название СС	Десятичная	Двоичная	Восьмеричная	Шестнадца-теричная
Основание p
Используемые символы	0 ÷ 9	0, 1	0 ÷ 7	0÷9, A,B, C, D, E, F
Построение чисел
			A
			B
			C
			D
			E
			F

Любое вещественное число (десятичная дробь) принято представлять в виде последовательности символов. В этой последовательности десятичная точка (запятая) отделяет целую часть числа от дробной, если число целое точка опускается. Для удобства позиции символов в этой последовательности нумеруется.

Номер позиции символа(цифры) в числе называется разрядом. Крайний левый разряд числа называется старшим разрядом, а крайний правый – младшим разрядом этого числа. Количество символов в числе определяют разрядность числа.

Нумерация разрядов целой части производится справа налево от десятичной точки, от 0 до n. Нумерация разрядов дробной части производится слева направо от десятичной точки, от -1 до –m.

R_p= a_na_n-1... a₁a₀. a_-1 a_-2.. a_-m

где R_p – вещественное число, представленное в ПСС с основанием p;

a_i – символ (цифра) находящийся в i -ом разряде числа;

Номер старшего разряда– n, номер младшего разряда– (–m)

Любое вещественное число R, представленное в ПСС с основанием p, может быть представлено в виде полинома:

R_p= a_n*pⁿ +a_n–1*p^n–1+... +a₁* p¹ +a₀* p⁰ +a_–1 *p^–1+a_–2*p^–2+... +a_–m*p^–m

где R_p – вещественное число,, представленное в ПСС с основанием p;

a_j – символ (цифра) находящийся в i-о м разряде числа;

pⁱ – вес символа (цифры) находящегося в i-ом разряде числа.

Целая часть вещественного числа R_p в полиноме выделена подчеркиванием. Если в виде полинома необходимо представить целое число разложение дробной части (невыделенной подчеркиванием) из полинома отбрасывается.

Пример 2.3. Представить число 5147,56₁₀ в виде полинома.

Рассмотрим исходное число. Количество цифр в этом числе 6 следовательно разрядность числа равна 6.

Пронумеруем позиции исходного числа:

Символ					.
Направление нумерации разрядов	¾¾¾¾¾	.	¾®
Номер позиции					.	-1	-2

Старший разряд – №3, младший разряда – № -2.

Представим число 5147,56 в виде полинома:

5147,56₁₀ = 5*10³ + 1*10² + 4*10¹ + 7*10⁰ + 5*10^-1 + 6*10^-2 = 5000 + 100 + 40 + 7 + 0,5 + 0,06.

2.2 Двоичная арифметика.

Правила выполнения арифметических действий над двоичными числами задаются таблицей 2.

Таблица 2 – Правили выполнения арифметических операций

Двоичное сложение	Двоичное вычитание	Двоичное умножение
0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 1 + 0 = 1 1 + 1 = 10	0 – 0 = 0 1 - 0 = 1 1 – 1 = 0 10 - 1 = 1	0 0 = 0 0 1 = 0 1 0 = 0 1 1 = 1

При сложении двоичных чисел в каждом разряде производится сложение цифр слагаемых и переноса из соседнего младшего разряда, если он имеется. При этом необходимо учитывать, что 1+1 дают ноль в данном разряде и единицу переноса в следующий.

Пример 2.4.. Выполнить сложение двоичных чисел: X=1101, Y=101.

 

При вычитании двоичных чисел в данном разряде при необходимости занимается 1 из старшего разряда.

Пример 2.5.. Даны двоичные числа X=10010 и Y=101. Вычислить X-Y.

Умножение двоичных чисел производится по тем же правилам, что и для десятичных с помощью таблиц двоичного умножения и сложения. Для удобства вычислений рекомендуется складывать по два слагаемых, а затем к полученной сумме прибавлять следующее слагаемое (пример 1.6 а))

Пример 2.6. Даны двоичные числа X и Y, вычислить X Y.

а) X=1001 и Y=101

 

 

б) X=1001 и Y=111

 

Для выполнения деления двоичных чисел используются таблицы двоичного умножения и вычитания.

Пример 2.7.. Даны двоичные числа X=1100.011 и Y=10.01. Вычислить X/Y.

Задания

1 Для каждого из чисел определить разрядность и указать номера старшего и младшего разрядов: а) 12345.034; б) 365; в) -273.1.

2. Представить в виде полинома числа:

а) 51.15₁₀; б) 10110.101₂; в) 37.4₈; г) А7.1Е₁₆.

3. Даны двоичные числа X и Y. Вычислить X+Y и X-Y, если:

а) X=1101001; Y=101111;

б) X=101110110; Y=10111001;

в) X=100011001; Y=101011.

4. Даны двоичные числа X и Y. Вычислить X*Y и X/Y, если:

а) X=1000011011; Y=1011;

б) X=100101.011; Y=110.1;

в) X=100000.1101; Y=101.01.

Контрольные вопросы

1. Что называется системой счисления?

2. Какие Вы знаете позиционные системы счисления?

3. Какие правила выполнения арифметических операций в двоичной системе счисления вы знаете?

4. Что такое полиномиальное представление числа?

Домашняя работа

1) Заданы два числа в двоичной системе счисления (A и B ). Произвести сложение, вычитание, умножение и деление этих чисел в двоичной системе счисления.

 

Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Цель и содержание

Ознакомить студентов с правилами перевода чисел из одной системы счисления в другую. Научить студентов переводить числа из любой ПСС в десятичную систему счисления и обратно, научить производить перевод чисел между системами счисления с основаниями, являющимися степенями двойки.

Данное практическое занятие содержит сведения о правилах перевода чисел, приводится методика перевода смешанных чисел из одной системы счисления в другую.

Теоретическое обоснование

2.1 Перевод чисел в десятичную систему из любой ПСС

Перевод чисел в десятичную систему из любой ПСС осуществляется путем представления числа в виде полинома и вычислением полученной суммы.

Пример 3.1. Осуществить перевод:

а) 10101101.101₂ (?)₁₀

1 0 1 0 1 1 0 1. 1 0 1 = 1 * 27 + 0 * 26 + 1 * 25 + 0 * 24 + 1 * 23 + 1 * 22 + 0 * 21 + 1 * 20 + 7 6 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3+ 1 * 2-1 + 0 * 2-2 + 1 * 2-3 = 173. 625

10101101.101₂ = 173. 625₁₀

б) 703.04₈ (?)₁₀

7 0 3. 0 4 = 7 82+ 0 81+ 3 80+ 0 8-1+ 4 8-2 = 451.0625 2 1 0 -1 -2

703.04₈ = 451.0625₁₀

в) B2E.4₁₆ (?)₁₀

B 2 E. 4 = 11 162 + 2 161+ 14 160+ 4 16-1 =2862.25 2 1 0 -1

B2E.4₁₆ = 2862.25₁₀