Майбутня вартість цінних паперів, грошей, простий, складний відсоток, дисконтована вартість, ануїтет

При оцінці вартості цінних паперів необхідно враховувати фактор часу. Це зумовлено нерівноцінністю грошових доходів, які відносять до різних моментів часу, тобто гривня отримана сьогодні має більшу вартість, ніж ця сама гривня через декілька днів.

Різниця у вартості грошей зумовлена дією наступних факторів:

- інфляція або знецінення грошей;

- втрата потенційного доходу від інвестування наявних коштів;

- невизначеність пов’язана з різного роду ризиками;

- схильність до ліквідності.

З позиції кількісного фінансового аналізу грошові кошти, які відносять до різних періодів часу, не можна просто сумувати, а необхідно враховувати при цьому фактор часу. Врахування фактора часу у фінансових розрахунках здійснюється шляхом розрахунків майбутньої вартості грошей (компаундирування) або теперішньої вартості майбутніх доходів (дисконтування).

Майбутню вартість грошей можна визначити за допомогою нарахування відсотків. Відсоткова ставка – це відношення суми доходу, виплаченого за фіксований інтервал часу, до величини інвестованого капіталу. Інтервал, до якого призначена відсоткова ставка, називається періодом нарахування. Це може бути рік, півріччя, квартал, місяць.

Якщо відсотки нараховуються в кінці періоду нарахування, вони називаються декурсивними. Якщо ж відсотки нараховуються на початку періоду, вони називаються антисипативними. Основним і найбільш вживаним є декурсивний метод нарахування відсотків. Антисипативний метод використовується в періоди високої інфляції або, наприклад, під час обліку векселів у банку.

На практиці застосовують нарахування простих (при короткостроковому інвестуванні) і складних відсотків (при довгостроковому інвестуванні).

При нарахуванні простих відсотків ставка відсотка застосовується до початкової суми протягом усього строку інвестування.

FV = PV (1 + rn), (3.1)

де FV – майбутня вартість (нарощена сума);

PV – теперішня вартість (початкова сума);

r – ставка відсотка (виражена десятковим дробом);

n – кількість періодів, за які нараховуються відсотки.

При нарахуванні складних відсотків ставка відсотка встановлюється до суми, що включає обсяг інвестиції та нарахованих відсотків на неї за попередній період.

FV = PV (1 + r)ⁿ. (3.2)

Оберненою до компаундирування є процедура дисконтування – метод визначення теперішньої (дисконтованої) вартості грошей, які відносяться до майбутніх періодів (майбутніх доходів на теперішній момент часу). При цьому застосовується особливий інструмент – ставка дисконтування, яка враховує основні фактори зміни вартості грошей в часі.

Матиматично процедура дисконтування має вигляд:

PV = FV / (1 + r)ⁿ. (3.3)

Володіння цінними паперами досить часто передбачає одержання фіксованих виплат через однакові проміжки часу (наприклад, відсотки по звичайних облігаціях). Таку сукупність послідовних фіксованих платежів, здійснюваних через рівні проміжки часу, називають фінансовою рентою або ануїтетом.

При цьому на практиці виникає необхідність розрахунку теперішньої або майбутньої вартості ануїтета.

Коли платежі здійснюються щороку впродовж n років при процентній ставці i, майбутнє значення вартості ануїтета дорівнюватиме:

, (3.4)

де F – майбутня вартість ануїтета;

A ₁, A ₂,...., A_n – суми, що сплачуються в кінці кожного періоду в ануїтет;

i – процентна ставка;

n – кількість років.

Оскільки А1=А2=…=Аn, то винісши його за дужки і помноживши рівняння (3.4) на (1+i), отримаємо:

. (3.5)

Віднімаючи з рівняння (3.5) рівняння (3.4), отримаємо:

(3.6)

Величина ((1 + i) ⁿ – 1)/ i називається процентним фактором майбутньої вартості ануїтета.

Приклад.Фонд відшкодування

Корпорації через 15 років необхідно покрити витрати за випуск облігацій у сумі $10000000.Вона створює для цього фонд відшкодування і сподівається отримувати 8% щорічно від використання коштів фонду. Яку суму щорічно корпорація повинна вкладати до фонду, щоб акумулювати повністю $10000000, якщо щорічні платежі вносяться до фонду в кінці кожного року?

Розв’язання. Якщо щорічні платежі А до фонду вносяться в кінці кожного року, використовуємо формулу (3.6) для визначення майбутньої вартості звичайного ануїтета:

Корпорація повинна щорічно вкладати до фонду $368295.45 упродовж 15 років, щоб одержати $10000000.

Теперішня вартість ануїтету:

Якщо майбутня вартість ануїтету згідно формули (3.6) , то теперішню можна отримати продисконтувавши її. Звідси:

PVA (3.7)

де, PVA – теперішня вартість ануїтету;

Перпетуїтет – це ануїтет або серія періодичних платежів, що тривають нескінченно. Якщо n прагне до нескінченності, то з рівняння (3.7) отримаємо, що границя процентного фактору дорівнює 1/ i. Тоді:

PV = P/i, (3.8)

де, PV – теперішня вартість перпетуїтета;

P – річний платіж;

i – процентна ставка.

Формула теперішньої вартості перпетуїтету може бути застосована до розрахунку вартості привілейованих акцій, оскільки дивіденд за ними, як правило, сталий, а термін обігу необмежений.