Вопрос 13. 1.1. Второй замечательный предел

Вопрос 9. 1.1. Понятие функции

Если каждому значению переменной x из некоторого множества ставится в

соответствие по известному закону единственное число y, то говорят, что на множестве  x 

задана функция y = y (x) или y = f (x).

1.2. Различают 4 способа задания функции:

1. табличный Состоит в простом перечислении элементов функции f, т.е. при этом способе указывается значение аргумента x и соответствующе значение функции y=f(x)

2. аналитический (формулы) Одна и та же функция может быть задана различными формулами: y=∣sin(x)∣y=

3. графический Область определения -- проекция данного графика на Ох, а множество значений -- проекция Д(f) на Оу.

1.3 Предел функции f(x) в точке a существует тогда и только тогда, если для каждого ε > 0 найдется δ = δ(ε) > 0 такое, что |f(x’) – f(x’’)| < ε.

Вопрос 10. 1.1. Число b называется правым (левым) пределом функции f (x) в точке a,

если для любой сходящейся к a последовательности значений аргумента функции, все

элементы которой больше (меньше) a, соответствующая последовательность значений

функции сходится к b. Такие пределы называются односторонними пределами.

1.2. Число b называется пределом функции f (x) при x → ∞, если для любой

бесконечно большой последовательности значений аргумента функции соответствующая

последовательность значений функции сходится к b. Число b называется пределом функции f (x) при x → +∞ ( x → -∞ ), если для

любой бесконечно большой последовательности значений аргумента функции, элементы

которой, начиная с некоторого номера, положительны (отрицательны), соответствующая

последовательность значений функции сходится к b.

Вопрос 11. 1.1. Функция f (x) называется бесконечно малой в точке x = a (при x → ∞),

если ее предельное значение в этой точке (при x → ∞) равно нулю.

1.2. Функция f (x) называется бесконечно большой при x → +∞ ( x → -∞ ), если для любой бесконечно большой последовательности { xn } значений аргумента x,

все элементы которой положительны (отрицательны), соответствующая последовательность

значений функции { f (xn)} является бесконечно большой последовательностью определенного

знака.

Вопрос 12. 1.1. Первый замечательный предел. Теорема. Предельное значение функции

в точке x = 0 существует и равно единице: (1)

Равенство (1) называют первым замечательным пределом.

Вопрос 13. 1.1. Второй замечательный предел

Теорема. Предельное значение функции при x →∞ существует и равно e:

Второй замечательный предел также записывают в виде: .

 

Вопрос 14. 1.1. Функция f (x) называется непрерывной в точке a, если предельное

значение этой функции в точке a существует и равно частному значению f (a), то есть, если

1.2. Функция называется непрерывной на множестве , если она непрерывна

в каждой точке этого множества.

1.3. Если функция f (x) не является непрерывной в точке x = a, то говорят, что f (x) имеет разрыв в этой точке.

1.4. Разрыв первого рода. Точка a называется точкой разрыва первого рода, если в этой точке

функция f (x) имеет конечные, но не равные друг другу правое и левое предельные значения: .

Например, для функции f (x) = / x точка x =0 является точкой разрыва первого рода.

Действительно, , а

Разрыв второго рода. Точка a называется точкой разрыва второго рода, если в этой точке

функция f (x) не имеет хотя бы одного одностороннего предельного значения, или если, по

крайней мере, одно из односторонних предельных значений бесконечно.

Ранее мы показали, что функция не имеет предельного значения в точке x = 0.

Следовательно, точка x = 0 является для данной функции точкой разрыва второго рода.

Функция f (x) = tg x также имеет в точке x = разрыв второго рода, поскольку

 

Вопрос 15. 1.1. Сложная функция и ее непрерывность. Последовательное применение двух или нескольких функций называется суперпозицией

этих функций.

Функции, образованные в результате суперпозиции двух или нескольких функций будем

называть сложными функциями. Например, сложная функция sin(ln x) образована в результате

суперпозиции функций sin u и u = ln x.

Достаточно определить сложную функцию, образованную в результате суперпозиции двух

функций. Пусть функция x = (t) определена на некотором множестве и пусть —

множество значений этой функции. Если на указанном множестве определена другая функция

y = f (x), то говорят, что на множестве задана сложная функция переменной t

y = f (x) = f ( (t)) = F (t).

Теорема. Если функция x = (t) непрерывна в точке t = a, а функция y = f (x) непрерывна

в точке x = b = (a), соответствующей точке t = a, то функция F (t) непрерывна в точке a.

 

Вопрос 16. 1.1. Функция f (x) называется неубывающей (невозрастающей) на множестве

, если для любых x1 и x2 из этого множества, удовлетворяющих условию x1 < x2, справедливо

неравенство f (x1) ≤ f (x2) (f (x1) ≥ f (x2)). Неубывающие и невозрастающие функции

называются монотонными.

1.2. Функция x = (y) называется обратной для функции y = f (x).

1.3.

 

Вопрос 17. 1.1. Элементарными функциями называются функции, полученные в результате суперпозиции

простейших элементарных функций и арифметических действий.

Все основные элементарные функции непрерывны при всех значениях х, для которых они определены.

Всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена.

Вопрос 18. 1.1. Производная Производная функции равняется пределу отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращения аргумента стремится к 0.

1.2. Физический смысл производной. Если точка движется вдоль оси х и ее координата изменяется по закону x(t), то мгновенная скорость точки:

Геометрический смысл производной. Производная в точке x 0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в этой точке.

 

1.3. Использование понятия производной в экономике

Рассмотрим издержки производства y как функцию количества выпускаемой продукции x. Пусть x — прирост продукции, а y — приращение издержек производства. Тогда отношение — это средние издержки производства на одну единицу продукции. Производная называется предельными издержками производства. Аналогично можно определить

предельный доход, предельную выручку, предельную полезность и так далее.

Вопрос 20. 1.1. Правила вычисления производных, связанные с арифметическими операциями

над функциями.

(Cf (x))`= Cf `(x),

(f (x) g (x))`= f `(x) g `(x),

(f (x) g (x))`= f `(x) g (x) + f (x) g `(x),

(f (x) / g (x))`= (f `(x) g (x) - f (x) g `(x)) / g 2 (x).

Вопрос 21. 1.1. Пусть функция x = (t) дифференцируема в некоторой точке t 0, а функция

y = f (x) дифференцируема в точке x 0 = (t 0). Тогда сложная функция y = f ( (t)) = F (t)

дифференцируема в указанной точке t 0 и справедлива следующая формула

F ‘ (t 0) = f ( (t 0)' = f ' (x 0) ‘ (t 0).

Вопрос 22. 1.1. Логарифмическая производная.

Пусть функция y = f (x) положительна и дифференцируема в данной точке x. Тогда в этой

точке существует ln y = ln f (x). Логарифмической производной функции y = f (x)

называется производная от логарифма этой функции, то есть

(ln y)`= y ` / y.

1.2. Эластичностью функции y = f (x) называется предел отношения относительного

приращения функции к относительному приращению переменной при . Из

определения эластичности, обозначаемой Ex (y) следует, что , то есть эластичность равна произведению независимой переменной x на логарифмическую

производную функции y = f (x).