Течение вязкой жидкости. Формула Пуазейля

Занимаясь исследованием кровообращения, французский врач и физик Пуазейль пришел к необходимости количественного описания процессов течения вязкой жидкости вообще. Установленные им для этого случая закономерности имеют важное значение для понимания сущности гемодинамических явлений и их количественного описания.

Пуазейль установил, что вязкость жидкости может быть определена по объему жидкости, протекающей через капиллярную трубку. Этот метод применим только к случаю ламинарного течения жидкости.

Пусть на концах вертикальной капиллярной трубки длиной l и радиусом R создана постоянная разность давлений Dр. Выделим внутри капилляра столбик жидкости радиусом r и высотой h. На боковую поверхность этого столбика действует сила внутреннего трения:

 

(17)

 

Рис. 6 Схема для вывода формулы Пуазейля.

Если р₁ и р₂ – давления на верхнее и нижнее сечения соответственно, то силы давления на эти сечения будут равны:

 

F₁=p₁pr² и F₂=p₂pr².

 

Сила тяжести равна F_тяж=mgh=rpr²gl.

При установившемся движении жидкости, согласно второму закону Ньютона:

 

F_тр+F_{давления}+F_тяж=0,

Учитывая, что (р₁-р₂) = Dр, dv равно:

Интегрируем:

 

 

Постоянную интегрирования находим из условия, что при r=R скорость v=0 (слои, прилегающие непосредственно к трубе, неподвижны):

 

 

Скорость частиц жидкости в зависимости от расстояния от оси равна:

 

 

Объем жидкости, протекающий через некоторое сечение трубки в пространстве между цилиндрическими поверхностями радиусами r и r+dr за время t, определяется по формуле dV=2prdrvt или:

 

Полный объем жидкости, протекающей через сечение капилляра за время t:

 

(19)

 

В случае, когда пренебрегаем силой тяжести жидкости (горизонтальный капилляр), объем жидкости, протекающий через сечение капилляра, выражается формулой Пуазейля:

(20)

 

Формулу 20 можно преобразовать: разделим обе части этого выражения на время истечения t. Слева получим объемную скорость течения жидкости Q (объем жидкости, протекающий через сечение за единицу времени). Величину 8hl/ 8pR⁴ обозначим через Х.. Тогда формула 20 принимает вид:

 

(21)

 

В такой записи формула Пуазейля (ее еще называют уравнением Гагена-Пуазейля) аналогична закону Ома для участка электрической цепи.

Можно провести аналогию между законами гидродинамики и законами протекания электрического тока по электрическим цепям. Объемная скорость течения жидкости Q является гидродинамическим аналогом силы электрического тока I. Гидродинамическим аналогом разности потенциалов j₁-j ₂ является перепад давлений Р₁ - Р₂. Закон Ома I =(j₁-j₂)/R имеет своим гидродинамическим аналогом формулу 20. Величина Х представляет собой гидравлическое сопротивление - аналог электрического сопротивления R.