Метод комплексных амплитуд

 

Переменный ток, напряжения. Периодические токи и напряжения. Мгновенные значения тока, напряжения и э.д.с. наибольшее распространение в электрических цепях получили синусоидальное или гармонические токи и напряжения. Ток изменяющийся по закону синуса называется синусоидальным или гармоническим. Мгновенное значение синусоидального тока, напряжения,э.д.с.

I= u= e= где: , максимальное значение или амплитуда тока, напряжения, э.д.с.

- фаза тока, напряжения, э.д.с. -начальная фаза тока, напряжения, э.д.с. - угловая частота.

Период Т, частота f связаны соотношением: f= .

Важными параметрами синусоидальных колебаний являются действующее и среднее значения. Действующим значением тока I называется среднеквадратичное значение электрического токе зе период:

I= . Аналогично для напряжения и э.д.с.: U= E= .

Среднее значение гармонического тока за период равен нулю, поэтому пользуется понятием среднего полупериодного значения, соответствующего только положительной полуволне:

= .

Генератор переменной э.д.с. устройство и принцип действия.

Синусоидальные колебания (токи, напряжения, э.д.с) можно представить различными способами: функциями времени (временные диаграммы) в t-области, векторами, комплексными часами. Расчет электрических цепей синусоидальными источниками энергии облегчается, если синусоидально изменяющиеся токи, напряжения, э.д.с. изображать векторами или комплексными числами. Эти представления лежат в основе символического метода расчета электрических цепей- метода комплексных амплитуд. Векторное представление синусоидальных функции основано на том, что вектор каждой синусоидальной функции в соответствии ставится вращающийся вектор на комплексной плоскости. Этот вектор на комплексной плоскости является геометрическим изображением комплексного числа. Поэтому синусоидальным функциям соответствуют комплексные числа.

Мгновенному значению напряжения u= в любой момент времени соответствует комплексное число, которое называется комплексным мгновенным напряжением.

Оно изображается вектором на комплексной плоскости, длина которого равна амплитуде и который образует с вещественной осью угол

u= = cos( )+j = .

В начальной момент времени t=0, получается начальное положение вектора. Вектор образует с вещественной осью угол . такой вектор обозначается

и называется комплексной амплитудой. Модулем комплексной амплитуды является вещественная амплитуда синусоидального напряжения, а аргументом – начальная фаза, т.е комплексная амплитуда включает оба параметра синусоиды: амплитуду и фазу. Это очень важное свойство комплексной амплитуды. Из приведенных выражений следует, что напряжение u= можно рассматривать как проекцию вращающегося вектора на ось мнимых чисел u= [ ]=Im[ ], а напряжение u= как проекцию вектора на ось вещественных чисел u= [ ]=Re[ ].

Вместо комплексных амплитуд часто рассматривают комплексные действующие величины: U= E= I= .

Переход от синусоидальных функций к комплексным действующим значениям позволяет упростить действия с синусоидальным функциями: сложение и вычитание, дифференцирование и интегрирование ( =j дифференцирование соответствует умножению на j , а операция интегрирования соответствует делению на j .

U=U ”

U=U показательная форма комплекса

U’+jU” алг j ебраическая форма комплекса напряжения.

Используя формулу Эйлера, можно перейти в алгебраическая форму комплекса напряжения. Переход из алгебраической формы в показательную форму:

U=U’+jU”=U

U= ²

Умножение вектора наj и на-j. пусть имеется вектор U. Умножение его на j дает вектор, по модулю равный U, но повернутый по отношению к исходному вектору на угол 90⁰ в сторону опережения(против часовой стрелки). Умножение вектора U на -j поворачивает вектор U на угол 90⁰ в сторону отставания (по часовой стрелки).

Сложение гармонических функций. При анализе электрических цепей синусоидального тока приходится сталкиваться с суммированием синусоидальных функций времени с одинаковой частотой, но с различными начальными фазами. Непосредственное сложение в t – области связано с большими трудностями тригонометрического характера. Значительно проще задача решается графически при помощи векторной диаграммы или аналитический – путем суммирования комплексных чисел.

Вопросы для самоконтроля:

1. параметры синусоидального напряжения?

2.преимущество синусоидального напряжения?

3.как можно представить синусоидальную функцию времени?

4. записать показательную форму комплексной амплитуды ток?

5.найти графически сумму двух синусоидальных токов. Определить действующее значение и начальную фазу?