Спектральный анализ непериодических сигналов

Для анализа электрических цепей, в которых действуют непериодические сигналы, используют спектральные представления, базирующиеся на паре преобразований Фурье, которые могут быть получены путем предельного перехода от ряда Фурье в комплексной форме.

Пусть имеется некоторый непериодический сигнал f (t), удовлетворяющий условию абсолютной интегрируемости в бесконечных пределах

.

С физической точки зрения это означает, что задается реализуемый сигнал с конечной энергией, при этом

,

то есть модуль сигнала f (t) имеет ограниченный показатель роста.

Мысленно превратим этот сигнал в периодический путем его повторения через определенный промежуток времени, который будем считать периодом Т (рис. 13.1).

К полученному таким образом сигналу можно применить разложение Фурье в комплексной форме

,

где обозначили:

; .

Подставим в предыдущее уравнение

.

Перейдем в этом выражении к пределу, учитывая, что при Т→∞ ; .

.

Внутренний интеграл

(13.1)

называется спектром сигнала.

С учетом спектра сигнала исходный сигнал можно записать

. (13.2)

Уравнение (13.1) называют прямым преобразованием Фурье; уравнение (13.2) – обратным преобразованием Фурье.

Поскольку спектр сигнала F (jω) – комплексная функция частоты, то он может быть записан в алгебраической и показательной формах:

где

;

Здесь

– амплитудный спектр сигнала;

– фазовый спектр сигнала.

– спектральная плотность энергии сигнала.

Между спектрами периодического и непериодического сигналов существует следующая связь:

.

В отличие от линейчатого спектра периодических сигналов, спектр непериодических сигналов носит сплошной характер (разница соседних частот равна dω).

Сигналы f (t) и спектры F (jω) обладают рядом свойств:

1) свойство линейности

,

где а_k – коэффициенты разложения;

2) дифференцирование сигнала соответствует умножению его спектра на величину jω:

;

3) интегрирование сигнала соответствует делению его спектра на jω:

;

4) смещение сигнала во времени на величину τ:

;

5) умножение спектров (теорема свертки):

;

6) изменение масштаба независимого переменного:

.

Из всего вышеизложенного в данной главе следует, что периодический несинусоидальный и непериодический сигналы могут быть представлены суперпозицией гармонических составляющих.

Расчет цепей при непериодических воздействиях

Временным методом

При расчете электрических цепей, в которых действуют непериодические токи и напряжения, могут использоваться временной и частотный методы анализа. Частотный метод мы рассмотрели, теперь остановимся на временном методе.

В основе временного метода лежат понятия переходной и импульсной характеристик цепи.

Переходной характеристикой g (t) называют реакцию цепи на воздействие в форме единичной функции 1(t) (рис. 13.4).

Импульсной характеристикой h (t) называют реакциию цепи на воздействие в виде единичной импульсной функции δ (t) (δ -функции), изображенной на рис. 13.5.

По своей сути эта функция является физически нереализуемой математической абстракцией, но она обладает рядом интересных свойств и широко используется в теоретических исследованиях. Формально она представляет собой математическую идеализацию единичного импульса, площадь которого равна единице при длительности импульса τ и высоте 1/ τ при τ→ 0 (рис. 13.6).

В зависимости от типа реакции (ток или напряжение) различают переходные и импульсные характеристики по току и напряжению:

g_i (t); g_u (t); h_i (t); h_u (t).

Использование переходной и импульсной характеристик позволяет свести расчет реакции цепи от воздействия сигнала произвольной формы к определению реакции цепи на простейшее воздействие в виде единичной 1(t) или импульсной δ (t) функции, с помощью которых можно аппроксимировать исходный сигнал.

Между переходной и импульсной характеристиками существует определенная связь, которую можно установить, если представить единичную импульсную функцию через предельный переход разности двух единичных функций величиной 1/ τ, сдвинутых друг относительно друга на время τ:

,

то есть δ (t) функция равна производной от единичной функции.

В линейных цепях это соотношение сохраняется и для импульсных и переходных характеристик:

.

Это уравнение справедливо для цепи с нулевыми начальными условиями g (0) = 0. Для ненулевых начальных условий g (0) ≠ 0 g (t) представляют в виде

где g ₁(0) = 0. Тогда уравнение связи запишется следующим образом:

.

Для нахождения переходных и импульсных характеристик цепи можно использовать классический и операторный методы расчета переходных процессов, считая, что цепь подключается к источнику с единичным напряжением.

Если переходная или импульсная характеристики известны, то реакция цепи на воздействие произвольной формы может быть найдена с помощью интеграла Дюамеля, либо интеграла наложения.