Основные аксиомы теории цепей

Предварительно рассмотрим более подробно топологические характеристики:

При рассмотрении первой схемы было введено понятие узла, как точки соединения 2-х двухполюсников.

Расширим это представление и назовём узлом место (точку на схеме) соединения любого числа 2-х- полюсников.

Различают два вида узлов:

· простой узел, когда соединение образовано только двумя элементами;

· сложный узел, когда соединение образовано не менее, чем тремя элементами.

Ветвь есть фрагмент цепи (схемы), внутренние точки соединений в котором, есть простые узлы.

Контур цепи (схемы) есть замкнутая последовательность ветвей (замкнутая последовательность ветвей, объединение которых представляет собой линию, гомеоморфную окружности).

Поле напровлений, как инструментполучения алгебраических выражений:

Для формирования алгебраических выражений на заданной геометрии схемы необходимо уметь расставлять знаки плюс и минус перед соответствующими величинами, из которых формируется выражения подобные (1.1а) и (1.1б). С этой целью помимо направлений, которые представляли направления протекания тока и падения напряжения на рис.1 – рис.5 (стрелки на схемах), вводится дополнительно ещё одно - направление обхода контура.

Принципы определения направлений будут введены позднее.

Далее следует специально обсудить экспериментальный результат 2, полученный в резистивной схеме.

Этот результат позволяет получить важное для теории и практики разработки электрических цепей положение по классификации источников энергии на два вида.

Один вид источников, для которого после подключения внешней цепи справедливо соотношение (рис.4)

R_i>R (2.1)

называют источниками тока, поскольку ток протекающий во внешней цепи (что тоже самое – ток протекающий через узлы 1,1' источника) в основном определяется внутренним сопротивлением источника и мало, при данном условии, зависит от сопротивления внешней цепи.

Другой вид источников, для которого после подключения внешней цепи справедливо соотношение (рис.4)

R_i<R (2.1)

называют источниками напряжения, поскольку ток протекающий во внешней цепи (что тоже самое – ток протекающий через узлы 1,1' источника) в основном определяется внешним сопротивлением источника и мало, при данном условии, зависит от внутреннего сопротивления источника энергии.

 

Для цепей, в которых параметры рассмотренных элементов R, L и C являются положительными константами, на примере рассмотренного определения стационарного состояния, можно ввести следующие два теоретических положений, с которых начнём формулировать перечень аксиом теории линейных цепей.

 

АКСИОМА 1.

В СТАЦИОНАРНОМ СОСТОЯНИИ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ ХАРАКТЕР (вид функций) ТОКОВ В ВЕТВЯХ И НАПРЯЖЕНИЙ НА ЭЛЕМЕНТАХ ОПРЕДЕЛЯЕТСЯ ХАРАКТЕРОМ ФУНКЦИИ ИСТОЧНИКА.

 

АКСИОМА 2.

В ЛИНЕЙНОЙ ЭЛЕКТРЧЕСКОЙ ЦЕПИ ДЕЙСТВУЕТ МЕТОД НАЛОЖЕНИЯ.

Если в цепи включены два и более источников энергии, то ток в любой ветви и напряжение на любом элементе есть алгебраические суммы, соответственно, токов и напряжений, создаваемых каждым источником в отдельности.

 

Продолжим с помощью введённых основных геометрических характеристик цепей и схем формулировать основные правила, которые позволят получить необходимое и достаточное число уравнений для проведения анализа цепей.

Начнём с рассмотрения схемы на рис. 1 или на рис.2. Видно, что каждая из этих схем представляет одну ветвь, т.к. в них имеются лишь простые узлы.

Если во внешней цепи амперметр подключить в другую её часть, то прибор покажет то же значение величины тока, если источник и величина сопротивления резистора R остаются без изменений. Из данного экспериментального факта можно получить другой теоретический постулат.

 

АКСИОМА 3.

ТОК ВЕТВИ ОДИНАКОВ ДЛЯ ВСЕХ ЭЛЕМЕНТОВ ЭТОЙ ВЕТВИ.

Следствие – элементы ветви можно менять местами.

Теперь рассмотрим сложный узел.

Поскольку в каждой из ветвей имеет место свой ток, то в сложном узле формируется их сумма. Эта сумма должна носить алгебраический характер.

Для определения знака каждого из членов суммы используют элемент поля направлений, называемый направлением протекания тока. Получим.

 

АКСИОМА 4. Закон Кирхгоффа

АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ СУММА ТОКОВ В УЗЛЕ РАВНА НУЛЮ.

 

Обратимся к другой геометрической характеристике, к контуру цепи.

Контур по определению состоит из ветвей, каждая из которых может включать в своём составе несколько элементов (Рис.4, 5б, 8б, 10). На каждом из элементов существует напряжение в соответствие с первоначальными выражениями (1.1б), (1.1с). И, если обходить контур по заданной последовательности ветвей, то можно сформировать алгебраическую сумму этих напряжений.

Для определения знака величины в сумме используется элемент поля направлений называемый направлением обхода контура. Получим.

АКСИОМА 5. Закон Кирхгоффа

 

АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ СУММА ПАДЕНИЙ НАПРЯЖЕНИЙ НА ЭЛЕМЕНТАХ ЛЮБОГО КОНТУРА РАВНА НУЛЮ.

 

Рассмотренные аксиомы следует дополнить теоретическими положениями, которые обобщают экспериментально отмеченные особенности, возникающие при подключении источника к цепи. Сделаем это для каждого из элементов R, L, C в отдельности.

При подключении источника к резистору (t = 0), отмечается скачёк тока, длительность которого мала.

При построении теоретической модели резистора, отмеченная особенность не учтена и формула (1.1а) справедлива для любого момента времени.

Считается, что в резистивной цепи при изменении напряжения на узлах 1,1 переходный процесс длиться бесконечно малый интервал времени и им пренебрегают.

Изменение напряжения скачком изменяет ток в резистивной цепи также скачком.

Формулировка данного выражения есть закон коммутации для резистивного элемента.

Термин «коммутация» обозначает подключение как действие, приводящее к скачкообразному изменению напряжения либо тока. Теоретически это можно представить разрывом первого рода в функции источника.

Математическая формулировка закона коммутации, условие непрерывности функций тока и напряжения для резистора, может быть записана в таком виде:

· , . (2,2)

Напряжение (ток) на резисторе до момента скачка (0-) не равно напряжению (току) в момент скачка.

АКСИОМА 6.

Напряжение (ток)на резисторе могут измениться скачком.

Рассмотрим схему на рис.2. Вместо резистора там включён конденсатор.

Особенность данной схемы в том, что в момент коммутации (t = 0) наблюдается существенный скачёк тока в сторону возрастания его величины от нулевого значения и малое значение напряжения на узлах 1,1.

При построении концепции емкостного элемента, эквивалентного конденсатору по его основному свойству, использована указанная особенность схемы, и получены выражения для дифференциального и интегрального операторов

 

, (2,3)

, (2.4)

которые устанавливают связь между током и напряжением на элементе и являются определением емкостного элемента теории.

Математическая структура операторов отражает сущность законов коммутации (условие непрерывности функций тока и напряжения):

· . (2,5)

 

Интегральный оператор имеет меру нуль в бесконечно малой области точки разрыва подынтегральной функции.

Другими словами – напряжение на емкостном элементе скачком измениться не может.

Дифференциальный оператор может приобретать бесконечно большое значение при малом изменении функции под знаком оператора, или, на языке теории цепей – ток через емкостной элемент может измениться скачком.

Таким образом, полная формулировка закона коммутации для емкостного элемента состоит из двух частей.

АКСИОМА 7.