Приклад 7.2Знайти інтеграл

Розв'язання. оскільки підінтегральна функція є непарною відносно , то можна застосувати підстановку .

відповідь.

Розглянемо інтеграл виду , що є окремим випадком раніше розглянутого інтеграла . Для знаходження таких інтегралів рекомендується:

 

	Якщо m – ціле додатне непарне число	підстановка
	Якщо n – ціле додатне непарне число	підстановка
	Якщо m, n - цілі додатні парні числа	застосовуємо формули пониження степеня

, - формули пониження степеня.

приклад 7.3 Знайти інтеграл

Розв'язання.

відповідь.

приклад 7.4 Знайти інтеграл

Розв'язання.

відповідь.

Інтеграли виду зводяться

до алгебраїчної суми табличних інтегралів за допомогою формул:

приклад 7.5 Знайти інтеграл

Розв'язання.

відповідь.

 

ЗАДАЧА 7. Індивідуальні завдання

 

1.	2.	3.
4.	5.	6.
7.	8.	9.
10.	11.	12.
13.	14.	15.
16.	17.	18.
19.	20.	21.
22.	23.	24.
25.	26.	27.
28.	29.	30.

Визначені інтеграли

якщо функція визначена на відрізку - довільне розбиття відрізка на n частин, то інтегральною сумою функції на відрізку називається сума виду

Визначеним інтегралом функції на відрізку називають скінчену границю інтегральної суми , якщо найбільша з різниць прямує до нуля, і при цьому не залежить від способу розбиття відрізка та вибору точок і позначають

якщо функція інтегрована на відрізку і F(x) одна з її первісних, то визначений інтеграл обчислюється за формулою Ньютона-Лейбниця:

Наприклад, обчислимо інтеграл .

Розв'язання.

відповідь.

ЗАДАЧА 8 (8.1-8.30) обчислити визначений інтеграл за допомогою методу інтегрування частинами.

Метод інтегрування частинами.

у визначеному інтегралі інтегрування частинами виконують за формулою: функції, диференційовані на .

приклад 8.2 обчислити інтеграл

Розв'язання.

відповідь. 1

приклад 8.3 обчислити інтеграл

Розв'язання.

відповідь.

ЗАДАЧА 8. Індивідуальні завдання

 

1.	2.	3.
4.	5.	6.
7.	8.	9.
10.	11.	12.
13.	14.	15.
16.	17.	18.
19.	20.	21.
22.	23.	24.
25.	26.	27.
28.	29.	30.

 

Метод заміни змінної.

нехай в інтегралі проведено заміну змінної . Якщо функція визначена і неперервна на відрізку , функція диференційована і визначена на відрізку , причому , то має місце формула заміни змінної у визначеному інтегралі: . при застосуванні даної формули слід пам'ятати про необхідність заміни границь інтегрування. Можлива також обернена заміна .

ЗАДАЧА 9.(9.1-9.30) обчислити визначений інтеграл за допомогою методу заміни.

Приклад 9.1 обчислити

Розв'язання. застосуємо підстановку . границі інтегрування знаходимо із співвідношень і . Функції та її похідна неперервні на відрізку , що підтверджує законність даної підстановки. Отже маємо =

= .

відповідь.

 

ЗАДАЧА 9. Індивідуальні завдання

 

1.	2.	3.
4.	5.	6.
7.	8.	9.
10.	11.	12.
13.	14.	15.
16.	17.	18.
19.	20.	21.
22.	23.	24.
25.	26.	27.
28.	29.	30.

Невласні інтеграли

Означення. Невласним інтегралом від неперервної функції f(x) на на інтервалі називається :

. (3)

Якщо ця границя скінченна, то кажуть, що невласний інтеграл збігається, якщо ж границя (3) не існує або нескінченна, то інтеграл називається розбіжним.

Аналогічно, за означенням, .

Для визначення інтеграла на інтервалі розіб’ємо заданий інтервал довільною точкою с на два: , . Тоді, якщо кожний із невласних інтегралів і збігається, то збігається і інтеграл і дорівнює їх сумі:

.

Якщо ж хоча б один із невласних інтегралів або розбігається, то розбігається і .

Задача 10 (10.1 - 10.30). Обчислити невласний інтеграл з нескінченними границями інтегрування.

 

Приклад 10.1. Обчислити невласний інтеграл

.

Розв'язання. В цьому прикладі обидві границі інтегрування нескінченні, тому розбиваємо заданий інтеграл на два:

.

Далі, за означенням, маємо