Нечеткие и лингвистические переменные

Понятия нечеткой и лингвистической переменных используются при описании объектов и явлений с помощью нечетких множеств.

Нечеткая переменная характеризуется тройкой параметров < a, X, A >, где a – наименование переменной; X – универсальное множество (область определения a); A – нечеткое множество на X, описывающее ограничения (т.е. m _A (x)) на значения нечеткой переменной a.

Лингвистическая переменная (ЛП) характеризуется набором параметров <b, T, X, G, M >, где β – наименование лингвистической переменной; T – множество ее значений (базовое терм-множество ЛП), представляющих наименования нечетких переменных, областью определения каждой из которых является множество X; G – синтаксическая процедура, позволяющая оперировать элементами терм-множества T, в частности, генерировать новые термы (значения); G (T) – множество сгенерированных термов; T È G (T) – расширенное терм-множество ЛП; M – семантическая процедура, позволяющая превратить каждое новое значение ЛП, образуемое процедурой G, в нечеткую переменную, т.е. сформировать соответствующее нечеткое множество.

Символ β используют как для названия самой переменной, так и для обозначения все ее значений. Один и тот же символ используется для обозначения нечеткого множества и его названия. Присвоение нескольких значений символам предполагает возможность решения неопределенностей с помощью контекста.

Сила подхода в том, что если само понятие субъективно, то такова и его формализация, выполняемая человеком.

Получаемые результаты должны носить качественный характер и достаточно слабо зависеть от конкретного задания функций принадлежности.

С другой стороны, если есть необходимость в более объективных выводах, то можно получить оценки m _A (x) путем опроса экспертов.

Нечеткие системы

Аналогично классическому случаю понятие нечеткой системы вводится через понятие нечеткого отношения (частными случаями которого являются понятия «нечеткое отображение», «нечеткая функция»).

Нечеткое отношение R на множествах X, Y задается функцией m _R: X ´ Y ® [0, 1], каждое значение которой m _R (x, y) интерпретируется как степень нахождения (совместимости, принадлежности) пары (x, y) в данном отношении.

Таким образом, нечеткое отношение – это нечеткое подмножество множества X ´ Y всех пар (x, y), где x Î X, y Î Y.

Важную роль в теории нечетких систем играет отношение композиции R ◦ S.

Если даны отношение R на множествах X и Y и отношение S на множествах Y и Z, то функция принадлежности отношения S ◦ R на множествах X, Z задается формулой:

. (1)

Данная формула справедлива и для обычных четких отношений.

В полной аналогии с обычными системами нечеткая система – это нечеткое отношение между множествами U и Y, где U – множество входных функций времени U (t): T ® U, Y – множество выходных функций времени y (·): T ® Y.

Операция композиции отношений соответствует последовательному соединению систем.

Если множества значений входов и выходов системы конечны, то математическую модель системы можно задать таблицами либо набором правил (продукций).

Данная компактная форма удобна для представления в компьютере и придает описанию системы вид набора причинно-следственных связей[1].

Аналогично обстоит дело и для нечетких систем, входные и выходные переменные которых могут принимать нечеткие значения, т.е. являются лингвистическими.

Правило вывода, соответствующее композиции нечетких отношений, называется композиционным правилом вывода и составляет основу нечеткой логики.

В нечеткой логике значения истинности предложений лежат в интервале от 0 до 1; закон исключенного третьего не выполняется.