Переходные процессы в системах

Изложим более подобно переходные процессы системы из исходного состояния в конечное под воздействием управляющего воздействия.

При описании динамических свойств элементов системы и системы в целом используются, как правило, системы дифференциальных уравнений. Это положение справедливо практически для любых систем, так как любая динамика предполагает учет производных от параметров системы по времени. Однако прямая постановка применения этого подхода связана с реализацией огромного объема вычислительных операций. Для решения этой проблемы были разработаны специальные методы, основанные на применении преобразований Лапласа и Карсона. С использованием этих преобразований наиболее легко описать передаточные и переходные свойства системы.

Передаточная функции — отношение конечного состояния системы (выхода) к начальному состоянию (входу), выраженное в операторной форме или отношение изображения выходной величины к входной при нулевых начальных условиях.

где W(р) — передаточная функция;

р — оператор преобразования Лапласа.

Если известна передаточная функция и величина, поступившая на вход элемента — х(t), то может быть получен выходной сигнал — у(t) (например, результат функционирования системы, элемента системы), т. е.

Понятие передаточной функции определено только для линейных объектов. Все реальные объекты являются нелинейными, но если их характеристики близки к линейным, то в небольшом диапазоне изменения входной координаты их можно считать линейными, а координаты линеаризовать.

В общем случае передаточную функцию линейного объекта можно представить в виде дроби с полиномами в числителе и знаменателе:

где условием физической реализуемости данного объекта (элемента, системы) является m<n.

Такую дробь можно представить в виде произведения нескольких дробей или суммы. Следовательно, любой линейный объект (систему) можно представить в виде последовательного (произведение) или параллельного (сумма), или другого соединения нескольких типовых объектов.

Получение передаточных функций элементов систем — очень сложный процесс, требующий знания специальных методов и технологий, которые изучаются в специальных дисциплинах. Для типовых элементов созданы специальные базы этих функций. Например, для систем регулирования и управления типовыми элементами могут быть:

1. Усилительное звено:

— передаточная функция: W(p) = К;

— дифференциальное уравнение: y(t) = К· х(t), где К — коэффициент усиления объекта.

2. Апериодическое звено:

I порядка:

— передаточная функция: ;

— дифференциальное уравнение:

II порядка:

— передаточная функция:

— дифференциальное уравнение:

где T, Т₁, Т₂— постоянные времени объекта.

При последовательном соединении нескольких апериодических звеньев получаем апериодическое звено более высоко: порядка.

3. Интегрирующее звено:

— передаточная функция: ;

— дифференциальное уравнение:

Примером данного звена является емкость, в которую наливается жидкость. Уровень жидкости в ней повышается с течением времени. Происходит интегрирование, т. е. накопление вещества в сосуде.

4. Колебательное звено:

— передаточная функция:

Корнями такого уравнения, стоящего в знаменателе, являются комплексные корни;

— дифференциальное уравнение:

5. Идеально дифференцирующее звено:

— передаточная функция: W(р) = К • р;

— дифференциальное уравнение: у(t) = К• х'(t). Это звено физически нереализуемо.

6. Реально дифференцирующее звено:

— передаточная функция:

— дифференциальное уравнение:

7. Звено чистого запаздывания:

— передаточная функция:

— дифференциальное уравнение: где — время чистого запаздывания.

Очень часто объект (система) реагирует на входную координату с некоторым запаздыванием. Время между моментом нанесения возмущения и моментом реакции объекта на это возмущение называется временем чистого запаздывания.

Примером такого звена является транспортер: что положили на начало транспортной ленты, то и получили в ее конце, но через некоторое время.

Звено чистого запаздывания часто используют при описании звеньев с распределенными координатами. Их представляют как последовательное соединение апериодических звеньев I, II и III порядка и звена чистого запаздывания.

Передаточные функции и графики изменения входного и выходного параметра усилительного, дифференцирующего, интегрирующего, апериодического и колебательного элементов приведены на рисунке 1.

Рис. 1. Отображение типовых звеньев:

а - усилительного; б — дифференцирующего; в — интегрирующего; г - апериодического;

д — колебательного (где Т — постоянная времени, e — показатель затухания,

р — оператор Лапласа)

Если соединения элементов в системе образуют сложную! структуру, то передаточная функция системы может быть найдена путем выполнения соответствующих операций агрегирования системы, при этом соединение элементов системы преобразуется в эквивалентный элемент:

• для последовательного соединенияэлементов (рис. 2, а):

• для параллельного соединения элементов (рис. 2, б):

• для элементов с обратной связью (положительной) (рис. 2, в):

Рис. 2.Типовое соединение звеньев: а) последовательное; б) параллельное; в) с обратной связью

Полную информацию о линейном объекте (системе) можно получить экспериментальным путем, подавая испытательный! сигнал на вход и определяя реакцию на него. Типовые испытательные сигналы — сигналы, которые используются для исследования свойств объекта (системы, элемента).

Существует несколько типовых испытательных сигналов:

• Единичное ступенчатое воздействие (единичный скачок). Единичный скачок — это скачкообразное ступенчатое изменение входной координаты (ступенчатая функция — в момент достигает значения и далее остается постоянной). Величина скачка типового сигнала равна единице:

Реакция объекта на единичный скачок — это переходная функция, она описывает переход от одного состояния (х = 0) к другому (х = 1). Эту же функцию называют также кривой разгона. Кривая разгона — реакция объекта на единичный скачок. Обозначают:

Значение переходной функции элемента системы может быть определено так:

Это изображение переходной функции. Имея изображение переходной функции и выполнив обратное преобразование Лапласа, можно получить оригинал переходной функции h(t).

На рис. 1 приведены примеры типовых звеньев в структурных схемах и графическое изображение переходного процесса.

• Импульсное возмущение. Импульсное возмущение — это резкое увеличение и сразу же резкое уменьшение входной координаты. Типовой импульс описывается функцией. Некоторая идеализация импульсного возмущения имеет вид:

Импульсный сигнал называется единичным импульсом, если выполняется .

Реакцию объекта на d-функцию называют весовой функцией, или импулъсно-переходной функцией. Обозначают эту функцию:

Между переходной и весовой функцией существует связь:

(весовая функция равна производной от переходной функции).

• Гармонический сигнал. Гармонический сигнал используется при исследовании частотных свойств объекта. На вход объекта подается гармонический сигнал

где А — амплитуда входного сигнала;

— частота входного сигнала.

На выходе формируется ответный сигнал

где В — амплитуда выходного сигнала;

j — сдвиг по фазе между входным и выходным сигналами. 1

Это выражение для выходного сигнала справедливо только для устойчивого объекта. Объект устойчив, если после снятия возмущения он возвращается в исходное состояние.

Передаточные и переходные функции используются при анализе и синтезе систем. С их помощью определяются статические, переходные и динамические характеристики систем, области устойчивости и т. д. Это осуществляется на этапе анализа систем.

На этапе синтеза определяются такие параметры элементов и системы в целом, при которых статические, переходные и динамические характеристики равны заданным (требуемым), определяются также корректирующие и дополнительные элементы системы.

Кроме передаточных и переходных функций для решения целого ряда задач анализа и синтеза систем используются частотные характеристики, определяющие поведение систем при изменении частот входных сигналов и возмущающих воздействий. Если на вход объекта подавать в качестве испытательного сигнала гармонический сигнал заданной амплитуды А и частоты со, то на выходе формируется также гармонический сигнал той же частоты, но в общем случае другой амплитуды В и со сдвигом по фазе ф. Взаимосвязь между параметрами гармонических сигналов на входе и выходе объекта определяют частотные характеристики.

Обобщенная частотная характеристика -- амплитудно-фазочастотная характеристика (АФХ) (или АФЧХ) - , может быть получена из передаточной функции при подстановке вместо p и представлена в виде:

Составляющие обобщенной частотной характеристики \У(1ш) имеют самостоятельное значение и названия.

Так, отношение амплитуды выходного сигнала к входному называют амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ):

Сдвиг по фазе между входным и выходным сигналами называют фазно-частотной характеристикой (ФЧХ): (р(со).

— действительная и мнимая части частотной характеристики. Они позволяют определить АЧХ и ФЧХ:

Частотная характеристика может быть построена на rомплексной плоскости. В этом случае конец вектора, соответствующий комплексному числу , при изменении от 0 до ¥ прочерчивает на комплексной плоскости кривую, которая называется амплитудно-фазочастотной характеристикой (АФХ).

Наряду с АФХ отдельно строят и все остальные частотные характеристики. Так АЧХ показывает, как пропускает звено сигнал различной частоты; причем оценкой пропускания является отношение амплитуд выходного и входного сигналов. ФЧХ показываем фазовые сдвиги, вносимые системой на различным частотах.

Применение для описания динамических свойств систем передаточных и переходных функций, а также частотных характеристик является более экономным в практическом отношений по сравнению с дифференциальными уравнениями.

Однако развитие современных компьютерных технологий (решение дифференциальных уравнений любой сложности применение надежных методов оптимизации, применение современных технологий имитационного моделирования) существенно снижает это преимущество

Примечание. По мнению авторов, можно выделить в социальной сфере и экономике следующие основные звенья: активное, пассивное; прогрессивное, консервативное реакционное, конструктивное; созидательное, разрушительное и т. д. Для каждого из этих звеньев при выполнении соответствующих исследований могут быть определены передаточные и переходные функции.