Лекция 4. Расчет цепей с использованием компьютерных технологий. Компьютерное моделирование электрических цепей

 

Современное образование невозможно без использования вычислительной техники, в частности, без компьютерного моделирования физических процессов. Имеется многолетний опыт разработки разных компьютерных программ, моделирующих электрофизические процессы, и опыт применения программ, разработанных другими авторами. Анализ этого опыта показывает, что одностороннее увлечение новейшими технологиями (подразумевается обычно - компьютерными) не приводит к ожидаемому результату.

Компьютерное моделирование физических (электрофизических) процессов вместо физического эксперимента обычно не приводит к повышению качества усвоения учебного материала студентами. Время, потраченное студентом на выполнение компьютерной лабораторной работы, состоит не только и не столько из изучения соответствующего теме теоретического материала, а расходуется на освоение интерфейса компьютерной лабораторной работы, выполнение заданий. В условиях сокращения учебного времени, отводимого в учебном плане на выполнение лабораторных работ, многим студентам недостаточно времени даже для осознания полученных результатов опытов и тем более для сопоставления с теоретическим материалом.

Таким образом, оказывается размытой главная цель образования - формирование устойчивого всестороннего образа изучаемого процесса. Немало студентов не могут описать изученный компьютерный процесс лабораторной работы, затрудняются дать оценку полученным результатам, а у преподавателя часто имеется время только для записи факта выполнения работы.

Традиционная форма лабораторной работы на физической (реальной) модели электрической цепи даёт студенту более обширное представление о процессах в промышленных устройствах. Она даёт ему также знания о сопутствующих этому процессу дополнительных физических явлениях (звуковые, световые явления, запахи, нагрев). Возможность использовать не воображаемые (виртуальные) измерительные приборы, а реальные средства измерений позволяет студенту узнать их свойства, чтобы правильно использовать их в практической деятельности.

Однако известные ограничения (материальные, финансовые и ресурсные) в возможности наблюдения ряда процессов на реальных установках в рамках учебного процесса естественным образом привели к необходимости применения компьютерных лабораторных работ в учебном процессе.

Более разумным является обязательное совместное, согласованное, взаимно дополняющее использование положительных сторон как моделирования на физической модели, так и моделирования тех же процессов на компьютере всюду, где это позволяют возможности учебного заведения.

Например, в учебной лаборатории электрических цепей студенты выполняют одну из работ, посвященных исследованию колебательного контура с последовательным или параллельным соединениями элементов. Причем, на лабораторном стенде невозможно исследовать зависимость процессов от частоты питающего источника. Поэтому вторую часть этой работы они выполняют на компьютерной модели, которая позволяет изменять частоту источника питания.

Система схемотехнического моделирования Electronics Workbench (EWB) предназначена для моделирования и анализа электрических схем. EWB может проводить анализ схем на постоянном (DC) и переменном (AC) токах. При анализе на постоянном токе определяется рабочая точка схемы в установившемся режиме работы. Результаты этого анализа не отражаются на приборах, они используются для дальнейшего анализа схемы. Анализ на переменном токе использует результаты анализа на постоянном токе для получения линеаризованных моделей нелинейных компонентов. Анализ схем в режиме АС может проводиться как во временной, так и в частотной областях.

В EWB также можно исследовать переходные процессы при воздействии на схемы входных сигналов различной формы. Программа позволяет производить анализ цифро-аналоговых и цифровых схем большой степени сложности. Имеющиеся в программе библиотеки включают в себя большой набор широко распространённых электронных компонентов. Есть возможность подключения и создания новых библиотек компонентов.

Широкий набор приборов позволяет производить измерения различных величин, задавать входные воздействия, строить графики. Все приборы изображаются в виде, максимально приближенном к реальному, поэтому работать с ними просто и удобно. Программа позволяет разместить схему таким образом, чтобы были чётко видны все соединения элементов и одновременно вся схема целиком.

Результаты моделирования можно вывести на принтер или импортировать в текстовый или графический редактор для их дальнейшей обработки. В библиотеки компонентов программы входят пассивные элементы, транзисторы, управляемые источники, управляемые ключи, гибридные элементы, индикаторы, логические элементы, триггерные устройства, цифровые и аналоговые элементы, специальные комбинационные и последовательные схемы. Активные элементы могут быть представлены моделями как идеальных, так и реальных элементов. Возможно также создание своих моделей элементов и добавление их в библиотеки элементов.

В программе используется большой набор приборов для проведения измерений: амперметр, вольтметр, осциллограф, мультиметр, Боде-плоттер (графопостроитель частотных характеристик схем), функциональный генератор, генератор слов, логический анализатор и логический преобразователь.

 

Лекция 5. Электрические цепи в режиме гармонических воздействий. Способы представления гармонических колебаний. Гармонические колебания в резистивных, индуктивных и емкостных цепях. Гармонические колебания в цепи при последовательном и параллельном соединениях R, L, C элементов.

 

Постановка задачи. Любой сложный по форме сигнал можно разложить на ряд простых сигналов, например, гармонических. Этот ряд называют спектром сигнала. Для линейных цепей применим принцип суперпозиции (наложения). Суть его в том, что если воздействие представлено суммой воздействий, то отклик будет также состоять из суммы откликов, полученных от каждого воздействия в отдельности.

Этот принцип лежит в основе многих методов анализа (расчета) линейных цепей, в частности, в спектральном методе (метод Фурье). В связи с этим нужно научиться рассчитывать цепь при воздействии одной гармоники – гармонического сигнала.

Из теории линейных дифференциальных уравнений известно, что если воздействие гармоническое x(t) = Х_m∙ cos(ω t + φ₀) с частотой w, то и отклик получится гармоническим y(t) = Y_m∙ cos(ω t + φ_y) с той же частотой w.

Cледовательно, решение задачи по расчету отклика y(t) сводится к определению только двух из трех параметров - Y_m и φ.

Гармонические колебания и их параметры

 

Пусть воздействие x(t) = Х_m∙ cos(ω t+ φ₀), например, u(t) = U_m∙ cos(ω t + φ₀). Здесь

X_m – амплитуда (максимальное значение) колебаний;

X = X_m /√2‾ - действующее значение;

ω – угловая частота [рад/с];

f = 1 /T - циклическая частота [Гц];

T – период колебаний [с];

θ (t) = (ω t + φ₀) – аргумент косинуса называется полной фазой (просто фаза) гармонического колебания;

φ₀ = θ ( 0 ) – начальная фаза. Она определяет значение гармонической функции при t = 0 – x (0) = Х_m ∙cos(φ₀), т.е. определяет положение гармонической функции на оси времени, изменяется в пределах отрезка [–π, π].

Пусть θ (t ₀ ) = (ω t ₀ + φ₀) = 0. Тогда u (t ₀ ) = Um∙ cos(ω t ₀ + φ₀) = U_m - гармоническое колебание имеет максимальное значение. Следовательно, точка t ₀ на оси времени определяется начальной фазой при заданной частоте ω

t ₀ = – φ₀/ω.

Сравнение двух гармонических колебания одинаковой частоты ω.

Пусть u₁ (t) = U₁∙ cos(ω t + φ₁), u₂ (t) = U₂∙ cos(ω t + φ₂).

t

t 02

t 01

Два гармонических колебаний можно сравнивать между собой не только по амплитуде, но и по начальной фазе, т.е. по положению на оси времени (см. рис.). Можно принять, что точки t = t₀₁ и t = t₀₂ являются началом функций, т.е. началом координат двух сигналов. Тогда, по значению разности t₁₂ = t₀₁ - t₀₂ можно определить какой из сигналов опережает другой сигнал. Если t₁₂ > 0, то говорят, что колебание u₁ (t) опережает по фазе колебание u₂ (t). Если же t ₁₂ < 0, колебание u₁ (t) отстает по фазе от u₂ (t). Этот вывод можно сделать на по разности времени t₁₂, а по величине ψ₁₂ = φ₀₁ – φ₀₂, называемой « сдвиг по фазе», т.е. разности начальных фаз.

Таким образом, если ψ₁₂ > 0, то колебание u₁ (t) опережает по фазе колебание u₂ (t). Если ψ₁₂ < 0, колебание u₁ (t) отстает по фазе от u₂ (t). При ψ₁₂ = ± π колебания противофазны. При ψ₁₂ = ± π/2 колебания находятся во временной квадратуре.

Векторное представление гармонического сигнала.

При гармоническом воздействии решить дифференциальное уравнение (ДУ) не прости. Поэтому в математике применяются символические методы решения уравнений, в частности, метод комплексных амплитуд. Суть его в том, что гармонической функции ставится в соответствие комплексная функция, тогда система ДУ преобразуется в систему алгебраических уравнений, в которых переменными являются комплексные амплитуды напряжений или токов.

После решения системы уравнений производят обратное преобразование: по комплексной переменной находят функцию времени.

В основе преобразования гармонической функции в комплексное число лежит формула Эйлера , где j = √-1

Пусть α = θ (t) = (ω t + φ₀), Тогда мгновенное комплексное значение гармонической функции, например, напряжения u(t) можно записать в тригонометрической форме

Мгновенное значение напряжения является реальной частью мгновенного комплексного значения, т.е.

u(t)= Re [ u(t) ] = U_m cos(ω t + φ).

Мгновенное комплексное значение можно записать в показательной форме:

где - комплексная амплитуда напряжения

или - комплексная амплитуда тока.

Комплексная амплитуда не зависит от времени.

Множитель называется оператором вращения. Он характеризует изменение функции во времени.

Таким образом, показательна форма примет окончательный вид

 

 

Мгновенное комплексное значение может быть записано и в алгебраической форме

 

где a – действительная, b – мнимая часть.

Сравнивая тригонометрическую и алгебраическую формы, получим

a = Um ∙cos(ω t + φ), b = Um ∙sin(ω t + φ).

 

Графическое представление гармонического сигнала

 

Алгебраическая форма помогает представить комплексное число графически на комплексной плоскости в декартовой системе координат, а показательная форма – в полярной системе координат.

Комплексная амплитуда в плоскости изображается неподвижной точкой. Если ее умножить на оператор вращения, то точка будет двигаться против часовой стрелки со скоростью ωt.

Начальная фаза отсчитывается от действительной оси против часовой стрелки. В первой и второй четвертях фаза (угол) берется со знаком «плюс». В третьей и четвертой четвертях фаза отсчитывается против часовой стрелки со знаком «минус».

Для расчета мгновенных значений напряжений и токов производят обратное преобразование мгновенного комплексного значения величины. Оно состоит в том, что берется реальная часть мгновенного комплексного значения

u(t)= Re [ u(t) =Ú_me^jωt ] = U_m cos(ω t + φ).

В литературе прямое и обратное преобразование обозначают