Функция Лагранжа простейших систем

 

Рассмотрим системы с одной степенью свободы.

1. Плоский математический маятник (Рис.3).

- уравнение связи.

Число степеней свободы равно единице (см. §1).

- кинетическая энергия.

U – потенциальная энергия.

U=mgh, где h – уровень подъёма над положением равновесия.

Имеем:

Рассмотрим случай малых колебаний:

, φ – измеряется в радианах.

L – длина дуги, R – радиус окружности. Тогда:

Функция Лагранжа:

Уравнение движения:

Для решения дифференциального уравнения второго порядка необходимо два начальных условия:

1)

2)

 

2. Линейный гармонический осциллятор (Рис.4).

k – упругость пружины,

l₀ – длина пружины в недеформированном состоянии,

l – длина пружины в деформированном состоянии.

По закону Гука (для малых деформаций):

- малые деформации.

По второму закону Ньютона:

,

, , где .

Решение аналогично случаю 1. Начальные условия:

1)

2)

 

3. Аналогично для вертикального гармонического осциллятора (Рис.5)

(По закону Гука)

В данном случае: - не является результирующей силой, а лишь возвращающей систему к положению равновесия.

Задачи

 

 

1. Наити функцию Лагранжа двойного плоского маятника, находящегося в однородном поле тяжести (ускорение силы тяжести g).

Решение. в качестве координат берём углы φ₁ и φ₂, которые нити l₁ и l₂ образуют с вертикалью. Тогда для точки m₁ имеем:

чтобы найти кинетическую энергию второй точки, выражаем её декартовы координаты x₂, y₂ (начало координат в точке подвеса, ось y – по вертикали вниз) через углы φ₁ и φ₂:

после этого получим:

окончательно:

2. Найти функцию Лагранжа плоского маятника, находящегося в однородном поле тяжести (ускорение силы тяжести g) с массой m₂, точка которого (с массой m₁ в ней) может совершать движения по горизонтальной прямой.

 

Решение. Вводя координату x точки m₁ и угол φ между нитью маятника и вертикалью, получим:

Интегралы движения в методе Лагранжа.

 

Динамические переменные в методе Лагранжа – это обобщённые координаты и обобщённые скорости. Всего их 2n, они задают начальное состояние систем.

Интеграл движения – это функция динамических переменных и времени , сохраняющая своё значение при движении системы (в КП).

- постоянство означает, что полная производная по времени должна быть равна нулю:

При n=1 имеем:

, .

 

Преобразование Галилея.

Преобразование импульса:

Тогда:

Рассмотрим такую систему отсчёта , в которой полный импульс системы (это есть система центра масс), тогда имеем:

,

где - радиус вектор центра масс