Краткие теоретические сведения. Два контура называются связанными, если возбуждение колебаний в одном из них приводит к возникновению колебаний в другом

Два контура называются связанными, если возбуждение колебаний в одном из них приводит к возникновению колебаний в другом. Связанные контуры нашли широкое применение в резонансных усилителях приемно-передающих устройств.

В зависимости от типа элемента, с помощью которого осуществляется взаимодействие между контурами, различают контуры с трансформаторной, индуктивной, емкостной и комбинированной (индуктивно-емкостной) связями. По способу включения элемента связи связанные контуры подразделяются на контуры с внешними и внутренними связями.

а). б). в).

г). д). е).

Рис. 30 – Связанные контуры с трансформаторной связью (а), с внутренней (б) и внешней (в) емкостными связями, с трансформаторно-емкостной (г), резистивной (д) и автотрансформаторной связью (е).

 

Каждому типу связанных контуров можно поставить в соответствие так называемый четырехполюсник связи, который получается из исходных контуров при их размыкании и устранении из них всех элементов, имеющих другой характер по сравнению с элементом связи. На рис. 31 изображен, в качестве примера, четырехполюсник связи, соответствующий схеме на рис. 30а.

 

Рис. 31 – Четырехполюсник связи

 

При этом вводятся коэффициенты передачи из первичного контура во вторичный К₂₁ – комплексный коэффициент передачи соответствующего четырехполюсника связи по напряжению от зажимов 1-1′ к зажимам 2-2′ (при холостом ходе на зажимах 2-2′) и коэффициент передачи из вторичного контура в первичный К₁₂ – комплексный коэффициент передачи четырехполюсника связи по напряжению от зажимов 2-2′ к зажимам 1-1′ (при холостом ходе на зажимах 1-1′):

K21 = Ů2 / Ů1 ׀İ2=0 и K12 = Ů1 / Ů2 ׀İ1=0.

(29)

Коэффициенты передачи являются действительными числами и не зависят от частоты. Среднее геометрическое из коэффициентов передачи называют коэффициентом связи между контурами:

ксв = √ K21 K12.

(30)

Коэффициент связи не зависит от частоты и используется для количественной оценки степени связи между контурами.

Для схемы на рис. 30а:

K12 = M/L2, K21 = M/L1, kсв = M / √ L1 L2.

(31)

Для схемы на рис. 30б:

K12 = С1 /(С1 + С0), K21 = С2 /(С2 + С0).

(32)

Для схемы на рис. 30в:

K12 = С0 /(С2 + С0), K21 = С0 /(С1 + С0).

(33)

Для схемы на рис. 30г:

K12 = (ωМ –1/ωС0) /(ωL1), K21 = (ωМ –1/ωС0) /(ωL2).

(34)

Для схемы на рис. 30д:

K12 = R0 /(R2 + R0), K21 =R0 /(R1 + R0).

(35)

Для схемы на рис. 30e:

K12 = L0 /(L2 + L0), K21 =L0 /(L1 + L0).

(36)

Для исследования выбрать схему, приведенную на рис. 30в. Схема измерений представлена на рис. 32 (она дополнена резисторами R₁ и R₂, имитирующими сопротивления катушек).

Передаточная функция по напряжению имеет вид

Ku (jω) = kсв Q / (1 – ξ2 + k2св + 2jξ).

(37)

Модуль этой функции (амплитудно-частотная характеристика связанных контуров) равен

Ku (ω) = kсв Q / √(1 – ξ2 + k2св)2 + 4ξ2,

(38)

а фазо-частотная характеристика

φk (ω) = – arctg [2ξ /(1 – ξ2 + k2св)]

(39)

 

Рис. 32 – Схема исследования связанных контуров

 

Графики амплитудно-частотной и фазо-частотной характеристик представлены на экране плоттера (рис.33а и б). При слабой связи (к_св < 1) амплитудно-частотная характеристика имеет один экстремум (средняя кривая на рис. 33а). Ее вершина более острая, чем у одиночного контура, поэтому полоса пропускания, определенная на уровне 0,71 от максимального значения (при ξ = 0)

K(ω0) = kсв Q /(1 + k2св),

будет равна

П = {ωo [k2св – 1 + √ 2 (1 + k4св)]0,5} /Q.	(40)
а).

б).

Рис. 33 – Амплитудно-частотные и фазо-частотные характеристики связанных контуров

Когда k_св →0, минимальная полоса пропускания связанных контуров П_мин ≈ 0,64 ω_о /Q меньше полосы пропускания одиночного контура. При критической связи k_св =1 полоса пропускания связанных контуров П≈ 0,71 ω_О /Q в 0.71 раз шире полосы одиночного контура.

При сильной связи (k_св >1) амплитудно-частотная характеристика связанных контуров становится двугорбой (на рис. 33а приведены кривые при разных значениях k_св, а на рис. 33б – соответствующая двугорбой АЧХ фазо-частотная характеристика). Ее форма более прямоугольная, чем в случае одиночного контура. Максимальная полоса пропускания П_мах связанных контуров определяется так, чтобы неравномерность амплитудно-частотной характеристики в полосе пропускания не превышала 3 дБ. Это достигается при к_св =2,41:

Пмах ≈ 3,1 ωo / Q.

Таким образом, меняя связь между контурами, можно изменять полосу пропускания связанных контуров от П_мин до П_мах.

 

Задание. Собрать схему, представленную на рис. 32. Изменяя значения С_о от 30 пФ до 10 нФ, снять амплитудно-частотные и фазо-частотные характеристики связанных контуров.

С помощью осциллографа оценить сдвиг фаз на резонансных частотах (частоты, на которых наблюдаются максимумы амплитудно-частотной характеристики). Способы измерения с помощью измерителя АЧХ и ФЧХ подробно изложены в работе 6.

По результатам измерений построить амплитудно-частотные и фазо-частотные характеристики. Изучить влияние к_св на полосу пропускания связанных контуров. Построить графики зависимостей К_св от С₀ и полосы пропускания от К_св.

 

РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА № 9

«СИНТЕЗ ЛИНЕЙНЫХ ФИЛЬТРОВ»

 

Цель: Освоение методики синтеза линейных фильтров (нижних частот, верхних частот и полосовых) на основе максимально-плоской и чебышевской аппроксимаций.

Краткие теоретические сведения: Для выполнения данной работы необходимо умение анализировать различные типы линейных цепей и находить их основные характеристики (частотный коэффициент передачи, передаточную функцию и ее полюса); знание принципов синтеза линейных фильтров нижних частот на основе максимально-плоской и чебышевской аппроксимаций и принципов перехода от известных схем ФНЧ к схемам ФВЧ и полосовых фильтров.

ФНЧ предназначены для передачи с минимальным ослаблением колебаний, частоты которых не превосходят некоторой граничной частоты, которая называется частотой среза, при этом колебания с частотами, большими частоты среза, должны существенно ослабляться.

Свойства передаточной функции четырехполюсника:

1. Полюса передаточной функции четырехполюсника должны располагаться в левой полуплоскости комплексной частоты р. Они могут быть вещественными либо образовывать комплексно-сопряженные пары.

2. Количество полюсов передаточной функции всегда должно превышать количество нулей.

3. В отличие от полюсов нули передаточной функции могут располагаться в любой полуплоскости, т.е по всей плоскости комплексной частоты р.

Этапы синтеза фильтров:

1. Формулировка технических требований к характеристикам фильтров в зависимости от заданной полосы пропускания. При этом никаких ограничений на структуру фильтра не налагается. Такой подход называется синтезом по заданной АЧХ. Как правило, идеальная характеристика на практике не реализуема.

2. Аппроксимация идеальной характеристики с помощью такой функции, которая может принадлежать физически реализуемой цепи.

3. Реализация выбранной аппроксимированной функции и получение принципиальной схемы фильтра с номиналами входящих в нее элементов.

Наибольшее распространение получили два вида аппроксимации: максимально-плоская и чебышевская.

Максимально-плоская аппроксимация основана на использовании функции частотного коэффициента передачи мощности, заданного в виде:

,

где – безразмерная нормированная частота.

Фильтр, частотная характеристика которого удовлетворяет такой функции, называется фильтром с максимально-плоской характеристикой или фильтром Баттерворта.

Процедура синтеза начинается с определения полюсов передаточной функции фильтра, для чего необходимо перейти к нормированной комплексной частоте р_н и определить полюса функции частотного коэффициента передачи мощности фильтра:

;

Определять корни данного уравнения в общем случае можно по формуле Муавра (вычисление корней n -ой степени из комплексного числа). При этом необходимо учитывать значение фазы комплексного числа z = – 1 (j = p).

При нахождении корней данного уравнения для любого порядка фильтра n должна выполняться следующая общаязакономерность: все полюса располагаются на одинаковом угловом расстоянии друг от друга и это расстояние всегда равно ; если n – нечетное, то первый полюс всегда равен 1, если n – четное, то первый полюс .

Используя свойство квадрантной симметрии расположения полюсов функции частотного коэффициента передачи мощности и условия устойчивости и физической реализуемости четырехполюсников, для передаточной функции фильтра необходимо отобрать лишь те полюса, которые расположены в левой полуплоскости комплексной частоты и для них записать нуль-полюсное представление передаточной функции:

.

Чебышевская аппроксимация задается частотным коэффициентом передачи мощности следующего вида:

,

где Т_n – полином Чебышева п -ой степени, который может быть определен из рекуррентного соотношения: T_n(x) = 2xT_n-1(x) – T_n-2(x), при этом T₀(x) = 1, T₁(x)=x.

Полиномы Чебышева обладают следующим свойством: среди всех полиномов n -й степени с одинаковыми коэффициентами при старшей степени аргумента, они меньше всего отклоняются от нуля для ; при они достигают резкого увеличения своих значений.

Полюса передаточной функции для Чебышевского фильтра определяются следующим образом:

1. Необходимо вычислить вспомогательный параметр:

2. Найти полюса для фильтра Баттерворта соответствующего порядка.

3. Переход к полюсам чебышевского фильтра осуществляется в соответствии с выражениями:

В отличие от полюсов фильтра Баттерворта полюса фильтра Чебышева располагаются не на окружности, а на эллипсе, но для передаточной функции отбираются они по тому же принципу.

Реализация НЧ-фильтров

Для реализации принципиальной схемы фильтра используется так называемый структурный синтез, когда цепь образуется каскадным включением звеньев, и общий частотный коэффициент передачи такого устройства определяется по формуле:

K(p)=K₁(p) K₂(p)... K_n(p).

Коэффициенты передачи звеньев должны реализовывать те полюса передаточной функции, которые были получены на этапе аппроксимации.

Для синтеза НЧ-фильтров требуются каскады двух видов: звенья первого порядка, которые имеют один вещественный полюс, и звенья второго порядка, которые имеют пару комплексно-сопряженных полюсов.

В качестве звена первого порядка можно использовать интегрирующую RC-цепь, частотный коэффициент передачи которой и единственный полюс определяются следующим образом:

, , .

Сопоставляя значения найденного на этапе аппроксимации нормированного полюса и конкретного для данного звена, можно определить номиналы входящих в схему элементов (один из них выбирается произвольно):

Р₁=Р_нω_с;

В качестве звена второго порядка можно использовать любой Г-образный четырехполюсник, содержащий R, L, C элементы, дифференциальное уравнение которого имеет соответственно пару комплексно-сопряженных корней:

L

 

C R

U_вх U_вых

 

U_вх=U_L+U_R; ;

.

Тогда переход от нормированных полюсов к обычным частотам осуществится по формуле: P_1,2= Pн_1,2ω_с.

Реализация ВЧ-фильтров

Для того, чтобы на основе синтезированного ФНЧ реализовать ФВЧ с той же частотой среза, необходимо осуществить замену переменной:

В результате такой замены конденсаторы и катушки индуктивности меняются местами с соответствующей заменой номиналов.

; .

Резистивные элементы при этом остаются без изменения.

Реализация полосовых фильтров осуществляется в результате следующей замены частотной переменной, при этом частота среза соответствующего ФНЧ становится центральной частотой полосового фильтра ω₀:

.

В результате такой замены:

;

.

Таким образом, ФНЧ является фильтром-прототипом, параметры которого позволяют перейти к соответствующим схемам полосовых фильтров и ФВЧ.

 

Задание: Для приведенных ниже в соответствии со своим вариантом исходных параметров определить:

1. Функцию частотного коэффициента передачи мощности К_р (w_н) и построить ее график.

2. Полюса функции К_р (w_н).

3. Передаточную функцию фильтра К(р).

4. Тип структурной схемы фильтра, соответствующей полученной передаточной функции.

5. Номиналы элементов, входящих в схему.

6. Соответствующие схемы ФВЧ и ПФ с той же частотой среза.

7. Промоделировать полученные схемы ФВЧ и ПФ в программе Electronics Workbench и построить их АЧХ.

8. Оформить полученные теоретические расчеты и графические материалы.

 

Исходные данные для расчетов:

Параметры /Вар.
1. Тип (Чеб/Бат) и порядок ФНЧ 2. Частота среза wс, с-1 3. Сопротивление нагрузки Rн,, кОм 4. Коэффициент неравномерности характеристики e	Чеб, 4   4*105       0,7	Бат, 5   3*104       -	Чеб, 5   3*105       0,8	Чеб, 2   2*105   0,5     0,9	Чеб, 3   106   0,9	Бат, 3   5*104   1,5     -	Бат, 4   2*104       -	Бат, 2   2*106   0,3     -	Бат, 6   3*106   1,2     -	Чеб, 6   5*105   0,4     0,6

 

Контрольные вопросы:

1. Сформулируйте технические требования к АЧХ для фильтров верхних частот и полосовых.

2. По какому правилу отбираются полюса для передаточной функции четырехполюсника?

3. Можно ли, зная порядок фильтра, определить количество необходимых для него звеньев?

4. Из каких соображений осуществляются замены элементов при переходе от ФНЧ к ФВЧ и ПФ? Какое условие должно выполняться при таких заменах?

5. Четырехполюсники какого типа можно использовать в качестве звеньев второго порядка при синтезе фильтров?

6. Как соотносятся между собой полюса нормированной частоты, полученные на этапе аппроксимации, со значениями полюсов реального четырехполюсника?

7. Как значение e влияет на вид АЧХ фильтра Чебышева?

8. Как изменяется АЧХ фильтров Баттерворта и Чебышева с ростом порядка фильтра?