Двовибірковий критерій М.В.Смірнова

Нехай – вибірка з неперервно розподіленої генеральної сукупності з функцією розподілу , а – вибірка з неперервно розподіленої генеральної сукупності з функцією розподілу . Потрібно перевірити нульову гіпотезу про співпадання розподілів обох вибірок. Для її перевірки М.В.Смірнов запропонував статистику

де і - емпіричні функції розподілу обох вибірок.

Розподіл статистики не залежить від гіпотетичних розподілів і , а при досить великих і випадкова величина має розподіл А.М.Колмогорова. Критична область , де знаходимо з таблиці 6 у додатку.

Приклад. 4.11. При експертній оцінці вагомості факторів „Операції з дочірними підприємствами” та „Форма розрахунків на підприємстві”, які впливають на внутрішньогосподарський ризик, групою з 20 експертів отримано наступні результати:

Для рівня значущості перевірити нульову гіпотезу про співпадання розподілів оцінок обох факторів.

Розв’язок. Обчислення проведемо, використовуючи таблицю 4.4.

Таблиця 4.4.

хі	yi
		0,05 0,05 0,25 0,45 0,5 0,9 0,9 0,9 0,95	0,05 0,1 0,15 0,35 0,55 0,9 0,95	0,05 0,1 0,1 0,05 0,05 0,1 0,05

Ма­кси­ма­ль­не зна­чен­ня ві­дхи­ле­нн­я до­рів­ню­є 0,1. Тоді . З таблиці 6 у додатку знаходимо як розв’язок рівняння . Оскільки 0,316<1,36, то гіпотеза приймається.

Критерій Колмогорова

Якщо обмежимося випадком, коли випадкова величина (ознака) x в генеральній сукупності є неперервною, то задачу про перевірку гіпотези H ₀ ((4.5) або (4.10)) про розподіл для неї можна розв’язати і з допомогою іншого критерію узгодження, а саме, критерію Колмогорова.

Ідея його побудови полягає в наступному.

За міру відхилення теоретичних даних від емпіричних вибирають запропоновану А.М. Колмогоровим випадкову величину t у вигляді

, (4.16)

де – емпірична функція розподілу, а – теоретична функція розподілу, яка задається гіпотезою.

І, що найважливіше, розподіл випадкової величини (4.16) відомий і визначається наступною теоремою, яку ми також наводимо без доведення.

Теорема 4.2. При розподіл випадкової величини незалежно від виду розподілу випадкової величини x прямує до розподілу Колмогорова:

, (4.17)

де - функція Колмогорова, яка протабульована у таблиці 6 у додатку.

Виходячи зі змісту даної теореми, рівняння для визначення критичної області W _a=() для заданого рівня значущості a, згідно з рівнянням (4.2), запишеться у виді:

P()= a (4.18)

або

K(t _a)=1- a. (4.19)

Розв’язуючи рівняння (4.19) для заданого a, за таблицею 6 отримаємо розв’язок t_a. Це дозволяє сформулювати критерій узгодження Колмогорова таким чином: нехай – точкова оцінка випадкової величини t, яка отримується на основі вибірки (x ₁, x ₂,..., x_n) з умови (4.16).

Тоді:

1. Якщо , то гіпотеза H ₀ відхиляється;

2. Якщо ж , то гіпотеза H ₀ приймається.

Приклад 4.12. Нехай результати вимірювань 1000 одиниць товару представляються у вигляді такої згрупованої вибірки:

xi		98,5		99,5		100,5		101,5		(4.20) 102,5
ki

Необхідно, користуючись критерієм Колмогорова, перевірити, чи узгоджуються отримані спостереження з гіпотезою про те, що похибка вимірювань x має нормальний закон розподілу з параметрами a = =100,25 i s =1, якщо рівень значущості a =0,05.

Розв’язок. Оскільки, згідно з гіпотезою H ₀, випадкова величина x є нормально розподіленою з параметрами a = =100,25 і s =1, то гіпотезу можна записати, як:

H ₀: F _x(x)= ,

де F (x) - відома функція Лапласа.

За таблицею 2 у додатку для функції Лапласа і на основі методики обчислення емпіричних функцій розподілу для заданої вибірки (4.20) побудуємо для зручності наступну таблицю:

xi	F x(xi)	F *x(xi)	| F x(xi)- F *x(xi)|
98,5 99,5 100,5	0,012 0,04 0,105 0,226 0,401 0,598 0,773	0,01 0,004 0,41 0,234 0,403 0,594 0,776	0,002 0,004 0,006 0,008 0,002 0,004 0,007
101,5	0,894	0,885	0,009
102,5	0,959 0,987	0,954 0,987	0,005 0,000

з якої випливає, що максимальне значення різниця | F _x(x_i)- F ^*_x(x_i)| приймає при x_i =101,5 і дорівнює 0,009. Отже, точкова оцінка , а

За таблицею 6 для функції Колмогорова для заданого рівня значущості a =0,05 отримаємо t _0,05=1,38.

Таким чином, , а, отже, згідно з критерієм Колмогорова, який сформульований вище, робимо висновок, що дану гіпотезу можна прийняти.

Розглянемо тепер приклади параметричних гіпотез.

ПАРАМЕТРИЧНІ ГІПОТЕЗИ