Приклади характерних задач з розв’язанням. Задача 1. Довести, що для випадку, коли незалежними змінними системи є температура, тиск і зовнішні параметри крім об’єму

Задача 1. Довести, що для випадку, коли незалежними змінними системи є температура, тиск і зовнішні параметри крім об’єму, термодинамічним потенціалом буде енергія Гіббса, що визначена для простої - системи.

Розв’язання. Відповідно до (6.4) енергія Гіббса простої PV - системи має вигляд:

(1)

З урахуванням (6.3) з (1) знаходимо:

(2)

Оскільки серед членів суми правої частини (2) є доданок вигляду (нехай з номером ), після очевидного скорочення отримуємо:

що й потрібно було довести.

 

Задача 2. Двокомпонентна система знаходиться в термостаті. Виразити хімічний потенціал першого компонента через хімічний потенціал другого для рівноважних ізобаричних процесів.

Розв’язання. Для вказаних умов через те, що і , з рівняння Гіббса-Дюгема (6.28) маємо:

(1)

Розділивши (1) на , отримаємо це співвідношення в термінах концентрацій :

(2)

де .

На підставі зв’язку з (2) знайдемо:

(3)

Розглядаючи як функцію складу (тобто концентрації ), перепишемо (2) у вигляді

(4)

Інтегруючи (4), остаточно отримаємо:

(5)

де хімічний потенціал чистого першого компонента при заданих і .

 

Задача 3. Визначити клас функцій, що виражають залежність хімічного потенціалу від складу в системах з двох однотипних компонентів.

Розв’язання. Обмежуючись пошуком залежності хімічного потенціалу лише від складу, вважатимемо Тоді для двокомпонентної системи з рівняння Гіббса-Дюгема (6.28) маємо (див. попередню задачу):

(1)

У випадку однотипних компонентів з симетрії випливає однакова функціональна залежність від і від . Отже, вважаючи , перепишемо (1) у вигляді

або, симетризуючи,

(2)

Співвідношення (2) можна розглядати як функціональне рівняння вигляду

(3)

де

(4)

Очевидно, що рішенням (3) є будь-яка функція , симетрична відносно значення аргументу . Загальним виглядом для такої буде

(5)

де довільна функція.

Отже, інтегруючи (4) з урахуванням зображення (5), знайдемо шуканий і найбільш загальний в умовах задачі вираз для хімічного потенціалу :

. (6)

В остаточному розв’язку (6) необхідно, зрозуміло, обмежитися такими функціями , які визначені на проміжку і для яких інтеграл (6) існує в традиційному для фізики рімановому сенсі.

 

Задача 4. Довести формулу (6.24).

Розв’язання. Скористаємося властивістю потенціалу Гіббса , відповідно до якої він є адитивною функцією кількостей частинок змішаних речовин. Математично це означає, що є однорідна функція першого степеня змінних . Звідси на підставі (1.14) можна записати:

(1)

Диференціюючи рівність (1) за , знайдемо

. (2)

Вважаючи в (2) , матимемо

(3)

Використовуючи (6.16), остаточно отримаємо з (3) шукану рівність: