Требования к оформлению контрольной работы 4 страница

и связано с угловым ускорением вала соотношением:

, (1)

где r — радиус вала.

Угловое ускорение вала выражается основным уравнением динамики вращающегося тела:

, (2)

где М — вращающий момент, действующий на вал; J — момент инерции вала. Рассматриваем вал как однородный цилиндр. Тогда его момент инерции относительно геометрической оси равен

J= ¹/₂ m ₁ r ².

Вращающий момент М, действующий на вал, равен произведению силы натяжения Т шнура на радиус вала: М=Тr.

Силу натяжения шнура найдем из следующих соображений. На гирю действуют две силы: сила тяжести , направленная вниз, и сила натяжения шнура, направленная вверх. Равнодействующая этих сил вызывает равноускоренное движение гири. По второму закону Ньютона, m ₂ g – T=m₂a, откуда T=m₂ (g – а). Таким образом, вращающий момент M=m ₂(g—а) r.

Подставив в формулу (2) полученные выражения М и J, найдем угловое ускорение вала:

Для определения линейного ускорения гири подставим это выражение в формулу (1). Получим

,

откуда

.

 

Пример 15. Через блок в виде диска, имеющий массу m =80 г, перекинута тонкая гибкая нить, к концам которой подвешены грузы массами m ₁=100 г и m ₂=200 г (рис. 11). С каким ускорением будут двигаться грузы, если их предоставить самим себе? Трением пренебречь.

Решение. Применим к решению задачи основные законы поступательного и вращательного движения. На каждый из движущихся грузов действуют две силы: сила тяжести , направленная вниз, и сила натяжения нити, направленная вверх.

Так как вектор ускорения груза m ₁ направлен вверх, то T ₁> m ₁ g. Равнодействующая этих сил вызывает равноускоренное движение и, по второму закону Ньютона, равна T ₁ – т ₁ g=т ₁ а, откуда:

T ₁ =m ₁ g+m ₁ a. (1)

Вектор ускорения груза т ₂ направлен вниз; следовательно, T ₂< m ₂ g. Запишем формулу второго закона для этого груза:

m ₂ g – T ₂ =m₂a, откуда

T ₂ =m₂g – m₂а. (2)

Согласно основному закону динамики вращательного движения, вращающий момент М, приложенный к диску,равен произведению момента инерции J диска на его угловое ускорение :

M=J . (3)

Определим вращающий момент. Силы натяжения нитей действуют не только на грузы, но и на диск. По третьему закону Ньютона, силы и , приложенные к ободу диска, равны соответственно силам T ₁ и Т ₂, но по направлению им противоположны. При движении грузов диск ускоренно вращается по часовой стрелке; следовательно, > . Вращающий момент, приложенный к диску, равен произведению разности этих сил на плечо, равное радиусу диска, т. е. M =( – ) r. Момент инерции диска J=mr ²/2, угловое ускорение связано с линейным ускорением грузов соотношением . Подставив в формулу (3) выражения М, J и , получим

( – ) r =

откуда

– =(т /2) а.

Так как =T ₁ и = Т ₂, то можно заменить силы и вы­ражениями по формулам (1) и (2), тогда:

m₂g – m₂a – m₁g – m₁a= (m/2) a, или(m₂—m₁) g= (m₂+m₁+m /2) a

откуда:

(4)

Отношение масс в правой части формулы (4) есть величина безразмерная. Поэтому значения масс m ₁, m ₂ и m можно выразить в граммах, как они даны в условии задачи. После подстановки получим:

 

Пример 16. Маховик в виде диска массой m =50 кг и радиусом r =20 см был раскручен до частоты вращения ₁=480 мин^-1 и затем предоставлен самому себе. Вследствие трения маховик остановился. Найти момент М сил трения, считая его постоянным для двух случаев: 1) маховик остановился через t =50 с; 2) маховик до полной остановки сделал N= 200 оборотов.

Решение. 1.По второму закону динамики вращательного движения, изменение момента импульса вращающегося тела равно произведению момента силы, действующего на тело, на время действия этого момента:

M t=J — J ,

где J — момент инерции маховика; и — начальная и конечная угловые скорости. Так как =0 и t = t, то Mt= – J , откуда:

M = – J /t. (1)

Момент инерции диска относительно его геометрической оси равен J=¹/₂mr². Подставив это выражение в формулу (1), найдем

M= – mr² / (2 t). (2)

Выразив угловую скорость через частоту вращения ₁ и произведя вычисления по формуле (2), найдем:

М= – 1 Н·м.

2. В условии задачи дано число оборотов, сделанных махови­ком до остановки, т. е. его угловое перемещение. Поэтому приме­ним формулу, выражающую связь работы с изменением кинетиче­ской энергии:

или, учтя, что ,

(3)

Работа при вращательном движении определяется по формуле A=Mj. Подставив выражения работы и момента инерции диска в формулу (3), получим:

M = – mr ² /4.

Отсюда момент силы трения:

М= – mr ² /4 . (4)

Угол поворота j= 2 N =2·3,14·200 рад=1256 рад. Произведя вычисления по формуле (4), получим:

М= – 1 Н·м.

Знак минус показывает, что момент силы трения оказывает тормозящее действие.

 

Пример 17. Платформа в виде диска радиусом R = 1,5 м и массой m ₁ = 180 кг вращается по инерции около вертикальной оси с часто­той =10 мин^-1. В центре платформы стоит человек массой т ₂=60 кг. Какую линейную скорость относительно пола помещения будет иметь человек, если он перейдет на край платформы?

Решение. По закону сохранения момента импульса,

(1)

где J ₁ — момент инерции платформы; J ₂ — момент инерции человека, стоящего в центре платформы; — угловая скорость платформы с человеком, стоящим в ее центре; J₂' — момент инерции человека, стоящего на краю платформы; — угловая скорость платформы с человеком, стоящим на ее краю.

Линейная скорость человека, стоящего на краю платформы, связана с угловой скоростью соотношением:

. (2)

Определив из уравнения (1) и подставив полученное выражение в формулу (2), будем иметь:

v= (J ₁ +J ₂) R /(J ₁ +J' ₂). (3)

Момент инерции платформы рассчитываем как для диска; следовательно, J ₁= ¹1₂m ₁ R². Момент инерции человека рассчитываем как для материальной точки. Поэтому J ₂=0, J' ₂ =m ₂ R ². Угловая скорость платформы до перехода человека равна .

Заменив в формуле (3) величины J ₁, J ₂, J' ₂. и их выражениями, получим:

Сделав подстановку значений т ₁, т ₂, , R и , найдем линейную скорость человека:

Пример 18. Человек стоит в центре скамьи Жуковского и вместе с ней вращается по инерции. Частота вращения ₁=0,5 c^-1. Момент инерции j_o тела человека относительно оси вращения равен 1,6 кг·м². В вытянутых в стороны руках человек держит по гире массой m =2 кг каждая. Расстояние между гирями l ₁=l,6 м. Опре­делить частоту вращения ₂, скамьи с человеком, когда он опустит руки и расстояние l ₂ между гирями станет равным 0,4 м. Моментом инерции скамьи пренебречь.

Решение. Человек, держащий гири (рис. 12), составляет вместе со скамьей замкнутую механическую систему, поэтому момент импульса J этой системы должен иметь постоянное значение. Следовательно, для данного случая

J₁ = J₂ ,

где J и — момент инерции тела человека и угловая скорость скамьи и человека с вытянутыми руками; J ₂ и — момент инерции тела человека и угловая скорость скамьи и человека с опу­щенными руками. Отсюда:

= (J ₁/ J ₂) .

Выразив в этом уравнении угловые скорости и через частоты вращения ₁ и ₂ ( =2 ) и сократив на 2 , получим:

₂=(J₁/J₂) ₁. (1)

Момент инерции системы, рассматриваемой в данной задаче, равен сумме момента инерции тела человека J₀ и момента инерции гирь в руках человека. Так как размер гирь много меньше расстояния их от оси вращения, то момент инерции гирь можно определить по формуле момента инерции материальной точки: J=mr². Следовательно,

J ₁= J ₀+2 m (l ₁/2)²;

где т — масса каждой из гирь; l ₁ и l ₂. — первоначальное и конечное расстояние между гирями. Подставив выражения J ₁ и J ₂ в уравнение (1), получим:

. (2)

Выполнив вычисления по формуле (2), найдем

₂=1,18 с^-1.

 

Пример 19. Стержень длиной l =1,5 м и массой М= 10 кг может вращаться вокруг неподвижной оси, проходящей через верх­ний конец стержня (рис. 13). В середину стержня ударяет пуля массой m =10 г, летящая в горизонтальном направлении со скоростью v_o =500 м/с, и застревает в стержне. На какой угол отклонится стержень после удара?

Решение. Удар пули следует рассматривать как неупругий: после удара и пуля, и соответствующая точка стержня будут двигаться с одинаковыми скоростями.

Рассмотрим подробнее явления, происходящие при ударе. Сначала пуля, ударившись о стержень, за ничтожно малый промежуток времени приводит его в движение с угловой скоростью и сообщает ему кинетическую энергию

(1)

где — момент инерции стержня относительно оси вращения.

Затем стержень поворачивается на искомый угол , причем центр масс его поднимается на высоту . В отклоненном положении стержень будет обладать потенциальной энергией

(2)

Потенциальная энергия получена за счет кинетической энергии и равна ей по закону сохранения энергии. Приравняв правые части равенств (1) и (2), получим

Отсюда

.

Подставив в эту формулу выражение для момента инерции стержня , получим

(3)

Чтобы из выражения (3) найти , необходимо предварительно определить значение . В момент удара на пулю и на стержень действуют силы тяжести, линии действия которых проходят через ось вращения и направлены вертикально вниз. Моменты этих сил относительно оси вращения равны нулю. Поэтому при ударе пули о стержень будет справедлив закон сохранения момента импульса. В начальный момент удара угловая скорость стержня , поэтому его момент импульса . Пуля коснулась стержня и начала углубляться в стержень, сообщая ему угловое ускорение и участвуя во вращении стержня около оси. Начальный момент импульса пули , где — расстояние точки попадания от оси вращения. В конечный момент удара стержень имел угловую скорость , а пуля — линейную скорость , равную линейной скорости точек стержня, находящихся на расстоянии от оси вращения. Так как , то конечный момент импульса пули .

Применив закон сохранения импульса, можем написать:

, или ,

откуда:

, (4)

где — момент инерции стержня.

Если учесть, что в (4) , а также что , то после несложных преобразований получим:

(5)

Подставив числовые значения величин в (5), найдем

рад = 0,5 рад.

По (3) получим:

Следовательно, =9°20'

 

Пример 20. Из пружинного пистолета был произведен выстрел вертикально вверх. Определить высоту h, на которую поднимается пуля массой m = 20 г, если пружина жесткостью k = 196 Н/м была сжата перед выстрелом на х = 10 см. Массой пружины пренебречь.

Решение. Система пуля — Земля (вместе с пистолетом) яв­ляется замкнутой системой, в которой действуют консервативные силы — силы упругости и силы тяготения. Поэтому для решения задачи можно применить закон сохранения энергии в механике. Согласно этому закону, полная механическая энергия системы в начальном состоянии (в данном случае перед выстрелом) равна полной энергии в конечном состоянии (когда пуля поднялась на высоту h), т. е.

= , или , (1)

где и — кинетические энергии системы в начальном и конечном состояниях; и — потенциальные энергии в тех же состояниях.

Так как кинетические энергии пули в начальном и конечном состояниях равны нулю, то равенство (1) примет вид

= . (2)

Если потенциальную энергию в поле тяготения Земли на ее поверхность принять равной нулю, то энергия системы в начальном состоянии равна потенциальной энергии сжатой пружины, т. е.

, а в конечном состоянии — потенциальной энергий пули на высоте , т. е. .

Подставив приведенные выражения и в формулу (2), найдем

; .

Произведя вычисления по последней формуле, получим h= 5 м.

Пример 21. Точка совершает колебания по закону , где А =2 см. Определить начальную фазу φ, если

x (0)= см и (0)<0. Построить векторную диаграмму для момента t =0.

Решение. Воспользуемся уравнением движения и выразим смещение в момент t =0 через начальную фазу:

.

Отсюда найдем начальную фазу:

.

Подставим в это выражение заданные значения x (0) и А: . Значению аргумента удовлетворяют два значения угла:

и .

Для того чтобы решить, какое из этих значений угла φ удовлетворяет еще и условию , найдем сначала :

.

Подставив в это выражение значение t =0 и поочередно значения начальных фаз и , найдем:

; .

Так как всегда A >0 и ω >0, то условию удовлетворяет только первое значение начальной фазы. Таким образом, искомая начальная фаза .