Точкой и углами наклона к плоскостям проекций

 

Зная координаты точки принадлежащей прямой и углы наклона ее к плоскостям проекций можно найти положение прямой в пространстве (рис.17).

 

 

Рис. 17. Определение положения прямой по точке и углам наклона к плоскостям проекций

 

положение прямой линии относительно плоскостей проекций.

Прямая по отношению к плоскостям проекций она может занимать как общее, так и частные положения.

1. Прямая не параллельная ни одной плоскости проекций называется прямой общего положения (рис.18).

	а) модель б) эпюр       Рис. 18. Прямая общего положения

 

2. Прямые параллельные плоскостям проекций, занимают частное положение в пространстве и называются прямыми уровня. В зависимости от того, какой плоскости проекций параллельна заданная прямая, различают:

 

2.1. Прямые параллельные горизонтальной плоскости проекций называются горизонтальными или горизонталями (рис.19).

 

Для любой пары точек горизонтали должно быть справедливо равенство

z_A=z_B Þ A₂B₂//0x; A₃B₃//0y Þ x_{A -} x_B≠, y_A–y_B≠, z_A–z_B=.

а) модель	б) эпюр
Рис. 19. Горизонтальная прямая

 

 

2.2. Прямые параллельные фронтальной плоскости проекций называются фронтальными или фронталями (рис.20).

y_A=y_BÞ A ₁ B ₁x, A ₃ B ₃z Þ x_A–x_B≠, y_A–y_B=, z_A–z_B≠.

а) модель	б) эпюр
Рис. 20. Фронтальная прямая

2.3. Прямые параллельные профильной плоскости проекций называются профильными (рис. 21).

 

x_A=x_B Þ A ₁ B ₁y, A ₂ B ₂z Þ x_A–x_B=y, y_A–y_B≠, z_A–z_B≠.

 

Различают восходящую и нисходящую профильные прямые. Первая по мере удаления от зрителя поднимается, вторая - понижается.

а) модель	б) эпюр
Рис.21. Профильная прямая

 

3. Прямые перпендикулярные плоскостям проекций, занимают частное положение в пространстве и называются проецирующими. Прямая перпендикулярная одной плоскости проекций, параллельна двум другим. В зависимости от того, какой плоскости проекций перпендикулярна исследуемая прямая, различают:

 

3.1. Фронтально проецирующая прямая - АВ (рис.22)

x_A–x_B= ü

y_A–y_B≠ý

z_A–z_B= þ,

а) модель	б) эпюр
Рисунок 22. Фронтально проецирующая прямая

 

3.2. Профильно проецирующая прямая - АВ (рис.23)

x_А–x_B≠ü

y_А–y_B=ý

z_А–z_B=þ,

а) модель	б) эпюр
Рисунок 23. Профильно-проецирующая прямая

3.3. Горизонтально проецирующая прямая - АВ (рис.24)

x_А–x_В = ü

y_А–y_В = ý

z_А–z_В ≠ þ.

а) модель	б) эпюр
Рисунок 24. Горизонтально-проецирующая прямая

 

3. Прямые параллельные биссекторным плоскостям (рис. 25)

 

АВ S1 бис Þ x_A – x_B =; z_B – z_A = y_B – y_A;

СD S2 бис Þ x_С – x_D =; z_D – z_C = y_C – y_D.

 

Биссекторной плоскостью называется плоскость, проходящая через ось 0х и делящая двухгранный угол между плоскостями проекций П₁ и П₂ пополам.

Биссекторная плоскость проходящая через 1 и 3 четверти называется первой биссекторной плоскостью (S1бис), а через 2 и 4 четверти - второй (S2бис).

 

4. Прямые перпендикулярные биссекторным плоскостям (рис. 25)

 

АВ S ^ 2бис Þ x_A – x_B =; z_B – z_A = y_В – y_А;

СD S ^ 1бис Þ x_С – x_D =; z_D – z_C = y_C–y_D.

а) модель б) эпюр
Рис. 25. Прямые параллельные и перпендикулярные биссекторным плоскостям   следы прямой линии Следом прямой линии называется точка (рис. 26), в которой прямая пересекается с плоскостью проекций (так как след - точка, принадлежащая одной из плоскостей проекций, то одна из её координат должна быть равна нулю). Горизонтальный след - М (zM) = -точка пересечения прямой с горизонтальной плоскостью проекций. Фронтальный след - N (yN) =- точка пересечения прямой с фронтальной плоскостью проекций. Профильный след - Т (xТ) =- точка пересечения прямой с профильной плоскостью проекций.             а) модель б) эпюр     Рис.26.Следы прямой линии в системе трех плоскостей проекций     Следы прямой являются точками частного положения. Одноименные проекции следа прямой совпадают с самим следом, а другие проекции лежат на осях. Например, фронтальный след прямой N2ºN, а N1 лежит на оси x, N3 - на оси z. Отмеченные особенности в расположении следов проекций позволяет сформулировать следующие правила:

Для построения горизонтального следа М прямой необходимо продолжить ее фронтальную проекцию до пересечения с осью x и в этой точке восстановить перпендикуляр к оси до пересечения с горизонтальной проекцией прямой.

2. Для построения фронтального следа N прямой нужно из точки пересечения горизонтальной проекции её с осью 0x восстановить перпендикуляр до пересечения с фронтальной проекцией прямой.

 

Рис. 27. Нахождение горизонтального и фронтального следов прямой линии

 

С помощью этих правил найдены на эпюре следы прямой а (рис.27). Здесь же показаны совпавшие проекции точки А, принадлежащей рассматриваемой прямой. Особенность этой точки в том, что она равноудалена от плоскостей проекций, то есть находятся в биссекторной плоскости S2бис.

Следы прямой, являются точками, в которых прямая переходит из одного октанта в другой, позволяют отмечать её видимость. Видимой частью прямой будет та, которая расположена в пределах первого октанта.

 

Взаимное расположение точки и прямой

Если точка принадлежит прямой, то её проекции должны принадлежать одноименным проекциям этой прямой (аксиома принадлежности точки прямой). Из четырех предложенных на рис. 28 точек, только одна точка С лежит на прямой АВ.

 

 

а) эпюр	б) модель
Рис. 28. Взаимное расположение точки и прямой

 

В тех случаях, когда точка и прямая лежат в плоскости уровня (параллельной какой-либо из плоскостей проекций П ₁, П ₂ и П ₃), то вопрос о взаимном расположении прямой и точки решается при построении проекций на плоскость соответственно П ₁, П ₂ или П ₃. Например, прямая АВ и точка К лежат в плоскости параллельной профильной плоскости проекций (рис.29).

а) эпюр	б) модель
Рисунок 29. Точка и прямая, расположенные в профильной плоскости уровня

Из свойств параллельного проецирования известно, что если точка делит отрезок прямой в данном отношении, то проекции этой точки делят одноименные проекции прямой в том же соотношении.

Зная это условие можно определить принадлежность точки К прямой АВ:

А ₂ К ₂ / К ₂ В ₂ ¹ А ₁ К ₁/ К ₁ В ₁ Þ К Ï АВ

 

 

Тест "Проекции прямой"

Проекция отрезка всегда меньше самого отрезка	Да	Нет
Отрезок прямой линии можно графически задать с помощью двух точек	Да	Нет
Отрезок прямой линии можно графически задать с помощью одной проекции	Да	Нет
Отрезок прямой линии можно графически задать с помощью точки и углов наклона к плоскостям проекций	Да	Нет
α - угол наклона прямой к горизонтальной плоскости проекций	Да	Нет

 

Практикум по решению задач.

Тема: Проекции прямой линии

Задача 1.