Погрешности в косвенных измерениях

Наука начинается с тех пор,

Как начинают измерять.

Д.И. Менделеев

Цель работы - на основе измерения массы цилиндрического твердого те­ла и его объема определить плотность материала этого цилиндра, в процессе чего освоить методику обработки результатов проведенных измерений.

Принадлежности - прямой круговой цилиндр из твердого материала, тех­нические весы, штангенциркуль и микрометр.

Введение

Настоящая лабораторная работа носит в основном методический харак­тер, связанный с овладением навыками простейших физических измерений и процедурой статистической обработки полученных данных. В ходе выполнения лабораторного задания осваиваются правила ведения записей при измерениях, способ анализа их результатов с вычислением погрешностей, а также оформле­ние конечных выводов работы в целом.

В содержание лабораторной работы по определению плотности сплошно­го твердого тела цилиндрической формы прежде всего входят измерения его параметров (массы, диаметра и высоты цилиндра), для чего выбираются соот­ветствующие инструменты, обладающие по отношению к измеряемому объекту точностью не хуже 1%, достаточной для решения поставленной задачи. Масса и геометрические размеры цилиндрического тела устанавливаются из измерений, называемых прямыми, тогда как определение его плотности относится к кос­венным измерениям, поскольку эта величина может быть найдена только с по­мощью вычислений как функция других величин, измеренных непосредствен­но.

Полученные в лабораторной работе экспериментальные данные обраба­тываются с использованием методики Стьюдента, позволяющей при малом числе измерений определить для искомой величины доверительный интервал с соответствующей доверительной вероятностью. Данная методика и назван­ные понятия относятся к математической обработке результатов измерений и их последующему представлению, что будет рассмотрено далее. Это рассмот­рение связано с погрешностями измерения, которые следует предварительно квалифицировать на основе терминологии, принятой в специальной литературе (см. [1,2] и библиографические списки в них).

 

Погрешности измерений физических величин

Известно, что в основе науки и ее применений лежат измерения. В то же время опыт показывает, что ни одно измерение, как бы тщательно оно не про­водилось, не может быть совершенно свободным от погрешностей, которые не­избежно содержатся в измеренных величинах. Под погрешностями понимают отклонения результатов измерений от истинных значений измеряемых величин (в научной литературе наряду с термином «погрешность измерений» исполь­зуются слова «ошибка измерений», что по отношению к измерительному про­цессу является равнозначным).

Типы погрешностей

При рассмотрении результатов измерений можно разделить погрешности по ряду признаков: по характеру и источникам возникновения, по значению и принадлежности к видам измерений, по способу количественного выражения. В классификации погрешностей по причинам, которыми они вызываются, выде­ляют три их основных типа - систематические, случайные и грубые (промахи).

Систематическая погрешность. Эта погрешность одинакова во всех из­мерениях одной и той же величины, выполненных одним и тем же методом од­ними и теми же измерительными приборами. Такая погрешность называется методической, когда она возникает из-за несовершенства методов измерений, или же инструментальной, если она обусловлена погрешностями средств изме­рений. Источниками систематических погрешностей могут также быть неуч­тенные влияния внешних воздействий и личные ошибки оператора, вызванные его физическими особенностями. Исключение систематических погрешностей возможно путем их устранения или внесения соответствующих поправок, если выявлена причина возникновения этих погрешностей, однако они могут остать­ся и неизвестными. Эффективным способом обнаружения и оценки системати­ческой погрешности является проведение измерений одной и той же величины принципиально разными методами.

Случайная погрешность. Величина этой погрешности, в отличие от сис­тематической, различна при повторяющихся измерениях, проведенных одина­ковым образом, поскольку определяется изменением условий измерений, воз­никающим в результате влияния случайных факторов, действие которых не поддается учету. Происхождение и размер названной погрешности могут быть вызваны как объективными, так и субъективными причинами. Ввиду случайно­го разброса данных, полученных в многократных измерениях одной и той же величины, такие погрешности нельзя исключить, но их можно оценить стати­стическими методами при достаточном числе повторных измерений (что и яв­ляется одним из основных назначений настоящей лабораторной работы).

Грубая погрешность. Источником этой ошибки, называемой промахом, является присутствие неких внешних влияний, нередко обусловленных недос­татком внимания со стороны экспериментатора, что может выражаться либо в грубом просчете при проведении измерений вплоть до использования неис­правной аппаратуры, либо в неверной записи показаний прибора. Основной способ недопущения промахов - тщательное и внимательное выполнение рабо­ты. Если же промахи случаются, то при их обнаружении результаты соответст­вующих измерений должны быть отброшены.

2. Характеристики погрешностей

Как отмечалось во введении, измерения бывают прямые и косвенные, расчет погрешностей в которых имеет свою специфику. Поскольку и в тех и в других измерениях результат всегда содержит некоторую погрешность, иско­мая величина х не может быть найдена совершенно точно. Наиболее вероятное значение величины х устанавливается из ряда равноточных измерений как среднее арифметическое . Соответственно в задачу входит не только опреде­ление этой величины , но также и оценка для полученного результата по­грешностиΔ х, выражающей отклонение от среднего значения , которую на­зывают абсолютной погрешностью. При этом точность измерений характери­зует не сама абсолютная погрешность, а ее отношение к измеряемой величине, т.е. , называемое относительной погрешностью.

В целом результат измерений с учетом погрешностей может быть пред­ставлен доверительным интервалом х = ± Δ х, в котором заключено истин­ное значение измеряемой величины х. Степень надежности того, что измерен­ная величина не будет отклоняться от истинного значения более чем на вели­чинуΔ х, определяется доверительной вероятностью (в технике такую харак­теристику называют надежностью). Доверительная вероятность выражается числом Р, указывающим, с какой вероятностью истинное значение x находится в доверительном интервале ± Δ х. Понятно, что эта вероятность растет с рас­ширением границ доверительного интервала.

При физических измерениях для определения доверительных границ по­грешности результата измерений принимается доверительная вероятность Р = 0.95 (ГОСТ 8.207-76), т.е. полагается указывать такой доверительный ин­тервал, в котором будет лежать 95% результатов всех однотипных измерений. Итак, при представлении любого измеренного значения следует привести дове­рительный интервал и доверительную вероятность, соответствующую это­му интервалу.

3. Погрешности в прямых измерениях

При непосредственных измерениях для получения количественной оцен­ки случайной погрешности, т.е. для нахождения величин, определяющих доверительный интервал, удобно представить исходные данные, полученные в из­мерениях, и их первичную обработку в виде табл. 1.

Таблица 1

№ п/п i	xi	- xi	( - xi)2
	x1	– x1	( – x1)2
	x2	– x2	( – x2)2
	x3	– x3	( – x3)2
.	.	.	.
.	.	.	.
.	.	.	.
n	xn	– xn	( – xn)2
Сумма		-
Среднее		-	-

Среднее квадратичное отклонение результата измерений рассчитывается по формуле (2)

В этой таблице приведены результаты выполненных в одних и тех же ус­ловиях n прямых измерений (содержащих случайные погрешности) некоторой физической величины х с последующим вычислением среднего арифметического

как наиболее вероятного значения измеряемой величины. Далее найдены абсолютные погрешности отдельных измеренийΔ х_i = - x_i, ха­рактеризующие отклонения x_i, от , и их квадраты ( - x_i)², которые в отличие от значения Δ х_i образовывают набор только положительных чисел. Сумма по­следних используется для вычисления средней квадратичной погрешности σ отдельного измерения, называемой также средним квадратичным отклонением, или стандартным отклонением, или стандартной ошибкой:

 

(1)

Квадрат этой величины, σ², называется дисперсией измерений (от латин­ского dispersus - «рассеяние») и является мерой отклонения измеряемой вели­чины x_i от среднего значения , т.е. мерой рассеивания результатов измерений.

Наряду со средней квадратичной погрешностьюσ отдельного (индивиду­ального) измерения важным является вычисление средней квадратичной погрешности σ_m результата измерений, за который принимают среднее из n из­мерений (отсюда другие названия погрешности σ_m: среднеквадратичное откло­нение среднего, стандартное отклонение среднего, стандартная ошибка средне­го). Эти два среднеквадратичных отклонения - отдельного измерения и резуль­тата n измерений (т.е. среднего значения) - связаны между собой:

(2)

Из выражения (2) видно, что стандартное отклонение среднего в меньше стандартного отклонения отдельного измерения, откуда следует воз­можность понижения погрешности путем увеличения числа измерений. Однако лучше уменьшать погрешность σ_m, повышая точность измерений, т.е. снизив величину посредством уменьшения абсолютных погрешностей отдельных измерений.

В то же время при небольшом числе измерений абсолютную случайную среднеквадратичную погрешность среднего ⧊ x, представляющую собой полу­ширину доверительного интервала, следует оценивать на основе стандартного отклонения (2) по формуле Стьюдента (Student - псевдоним английского иссле­дователя B.C. Госсета, что в переводе здесь означает «ученый»). Эта формула, соотносясь с выражением (2), имеет вид

(3)

где - коэффициент Стьюдента, зависящий от величины доверительной веро­ятности Р и числа измерений п. Для принятого согласно ГОСТ 8.207-76 значе­ния Р = 0.95 коэффициенты при различных п приведены в табл. 2.

Таблица 2

Коэффициенты Стьюдента при доверительной вероятности Р = 0.95 и числе измерений n

n		п		п		п
	12.71		2.45		2.20		2.12
	4.30		2.36		2.18		2.11
	3.18		2.31		2.16		2.10
	2.78е		2.26		2.14		2.09
	2.57		2.23		2.13	∞	1.96

Погрешности приборов

Кроме рассмотренных погрешностей прямых измерений на их результат влияют также ошибки, которые вносят непосредственно измерительные прибо­ры. К этим ошибкам относятся погрешности, связанные с устройством, состоянием и условиями функционирования самого прибора, а также с округлением его показаний.

Максимальная абсолютная погрешность прибора при доверительной ве­роятности Р = 0.95 выражается через предельную погрешность прибора δ как

= 0.67 δ. (4)

Величина δ обычно указывается на самом приборе или в его паспорте.

Погрешность, обусловленная округлением показаний прибора, определя­ется для полуширины соответствующего доверительного интервала при задан­ной доверительной вероятности Р = 0.95 по формуле

= 0.48ω, (5)

где ω - цена наименьшего деления шкалы прибора.

Значения δ иω и соответственно погрешности и для приборов, используемых в настоящей работе, приведены в табл. 3.

Таблица 3

Погрешности приборов при Р = 0.95

Прибор	Предельная погрешность прибора, δ	Абсолютная погрешность прибора,	Цена наименьшего деления прибора, ω	Погрешность округления показания прибора,
Микрометр	0.01 мм	0.007 мм	0.01 мм	0.005 мм
Штангенциркуль	0.1 мм	0.07 мм	0.1 мм	0.05 мм
Весы технические	0.1 г	0.007 г	0.1 г	0.005 г

Погрешности, вносимые ошибками, которые дают прибор и округление его показаний, суммируются с абсолютной случайной погрешностью измере­ний, определяемой по формуле (3) (суммирование производится по правилу, называемому квадратичным сложением). Тогда результирующая погрешность прямых измерений имеет вид

(6)

5. Запись окончательного результата

Вычисление величины абсолютной погрешностиΔ х проводится с точно­стью до одной значащей цифры, если эта цифра больше или равна 2, и до двух значащих цифр, если первая из них единица. При этом среднее значение сле­дует округлить таким образом, чтобы погрешностьΔ х приходилась лишь на по­следний разряд числа среднего , если погрешностьΔ х записана с точностью до одной значащей цифры, либо на два последних разряда числа , еслиΔ х оп­ределена с точностью до двух значащих цифр.

Окончательный результат измерений записывается в виде

x = ± Δ х (7)

с указанием единиц измерения.

Погрешности в косвенных измерениях

Как говорилось выше, если измеряемая величина является функцией не­скольких непосредственно измеренных параметров, то измерение такой вели­чины называется косвенным, а соответствующая погрешность результата обу­словливается видом функциональной зависимости. При этом погрешности вхо­дящих в данную зависимость величин в процессе обработки результатов изме­рений «распространяются», приводя к погрешности в конечном результате. От­сюда двухэтапность процедуры: сначала определение погрешностей непосред­ственно измеренных величин, а затем расчет погрешности искомой величины, функционально связанной с ними. Такой расчет погрешности в косвенных из­мерениях может быть представлен как последовательность определенных ша­гов, каждый из которых включает в себя только один из следующих видов опе­раций: нахождение сумм и разностей, расчет произведений и частных, вычис­ление функции одного переменного (например, возведение в степень).

В случае, когда величина z функционально связана с величинами а и Ь, погрешности которых случайны, независимы и сравнительно малы, по­грешность результата косвенного измерения выражается через погрешностиΔ а иΔ b следующим образом.

При z=a+b и z=a-b, Δ z= .

При z = a x b и z = , = .

При z = , = .

Из приведенных формул видно, что при сложении и вычитании измеряе­мых величин складываются квадраты абсолютных погрешностей, в то время как при умножении и делении - складываются квадраты относительных по­грешностей. Соответственно в первом случае из найденной абсолютной по­грешности результата косвенного измерения рассчитывают относительную по­грешность, а во втором случае, наоборот, сначала находят относительную по­грешность, а затем определяют абсолютную (как делается, в частности, в на­стоящей работе).