Знакочередующиеся и знакопеременные ряды

Криволинейный интеграл второго рода

Пусть задана некоторая линия γ. Найти работу, которая совершит переменная сила F (x, y) при перемещении некоторой точки из положения А в положении В по линии γ.

Разобьем линию на бесконечно малые участки точками М ₁, М ₂, …, тогда работа силы на всей линии равна сумме работ на каждом участке

Так как отрезки разбиения бесконечно малы, то их условно можно считать прямолинейными отрезками. Кроме того, будем считать, что в пределах каждой ячейки сила не меняется, и она в пределах ячейки определяется вектором в некоторой точке C_i внутри этой ячейки. Работу внутри каждой ячейки приближенно заменим на элементарную работу силы (скалярное произведение силы на вектор перемещения)

Данная сумма называется криволинейной интегральной суммой второго рода.
Предел криволинейной суммы второго рода, при условии стремления к нулю всех участков разбиения, называется криволинейным интегралом второго рода, если он существует, не зависит от разбиения линии и от выбора точек внутри каждой ячейки

Если вектор силы задан своими координатами, которые являются функциями координат точки

то, воспользовавшись формулой скалярного произведения в координатной форме, получим криволинейный интеграл второго рода в координатной форме:

Некоторые приложения криволинейных интегралов

Длина кривой

 

Масса кривой

 

( - плотность кривой).

Координаты центра масс

 

Работа

 

Работа силы вдоль кривой l:

 

3.

Оператор	Обозначение	Описание	Тип
Ротор		Характеризует вихревую составляющую векторного поля.	Вектор вектор
Дивергенция		Характеризует расходимость, источники и стоки векторного поля.	Вектор скаляр
Градиент		Определяет направление и скорость скорейшего возрастания скалярного поля.	Скаляр вектор
Лапласиан		Сочетание дивергенции с градиентом.	Скаляр скаляр

Для случая трёхмерного пространства градиентом скалярной функции координат , , называется векторная функция с компонентами

, , .

Или, использовав для единичных векторов по осям прямоугольных декартовых координат :

4.

Признаки сравнения

 

Если , и ряд сходится, то сходится и ряд .
Если , и ряд расходится, то расходится и ряд .

Признаки сравнения можно сформулировать в такой форме:
Если заданы ряды и существует , то ряды сходятся либо расходятся одновременно.

Признак Д’Аламбера
Если существует то:
при ряд сходится;
при ряд расходится.

Радикальный признак Коши
Если существует то:
при ряд сходится;
при ряд расходится.

Интегральный признак Коши
Пусть задан ряд , члены которого являются значениями непрерывной, положительной и монотонно убывающей функции f(x) на промежутке . Тогда ряд сходится, если сходится несобственный интеграл . Если же расходится, то ряд также будет расходящимся.

 

Знакочередующиеся и знакопеременные ряды

Признак Лейбница (достаточный признак сходимости знакочередующихся рядов) Ряд сходится, если:
.

Знакопеременный ряд называют абсолютно сходящимся, если сходится ряд . Если ряд сходится, а ряд расходится, то ряд называют сходящимся условно.
Очевидно, что если ряд сходится, то ряд также сходится. Обратное утверждение в общем случае неверно.