Геометрические вероятности

Рассматривая классическое и статистическое определение вероятности, мы всегда предполагали, что число исходов опыта является конечным и все исходы равновозможные. Но часто встречаются такие испытания, для которых число возможных исходов бесконечно. В этом случае, если позволяют обстоятельства, используют следующую геометрическую интерпретацию.

Пусть имеется некоторая область (отрезок, плоская фигура, пространственная область), и в ней содержится другая область (рис. 5.1). Будем говорить, что область имеет меру и обозначать ее через , понимая под этим длину, площадь, или объем области .

Аналогично и область имеет меру , только в этом случае это будет ее длина, площадь или объем.

Производится испытание: в область наугад бросается точка и спрашивается: чему равна вероятность того, что точка попадет в область (событие А). При этом подразумевается, что брошенная точка может попасть в любую точку области Ω и вероятность попасть в какую-либо часть области, например в , пропорциональна мере этой части (длине, площади, объему) и не зависит от ее расположения и формы.

Определение 5.1. Геометрической вероятностью события A называется отношение меры области, благоприятствующей появлению события A, к мере всей области исходов:

. (5.1)

 

Пусть отрезок имеет длину , а его часть — длину , плоская фигура имеет площадь , а ее часть — , пространственная фигура имеет объем , а ее часть — . Тогда из формулы (5.1) получаем:

1. вероятность попадания точки на отрезок

; (5.2)

2. вероятность попадания точки в плоскую область

; (5.3)

 

3. вероятность попадания точки в пространственную область

. (5.4)

Пример 5.1. На отрезке L длины 20 см помещен меньший отрезок длины 10 см. Найти вероятность того, что точка, наудачу поставленная на больший отрезок, попадет также и на меньший отрезок. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения.

Решение.

За событие А обозначим утверждение: точка, наудачу поставленная на больший отрезок, попадет также и на меньший отрезок. Тогда, согласно формуле (5.2) имеем

 

.

 

Ответ: 0,5.

 

Пример 5.2. В круг радиуса R наудачу брошена точка. Найдите вероятность того, что эта точка окажется внутри данного вписанного правильного треугольника.

 

Решение.

 

Обозначим за событие А – точка окажется внутри вписанного правильного треугольника (рис. 5.2). Тогда искомая вероятность равна отношению площади правильного треугольника к площади круга:

 

 

.

Ответ: .

Пример 5.3. Шар помещен внутрь эллипсоида . Найти вероятность того, что поставленная наудачу внутри эллипсоида точка окажется внутри шара.

Решение. По определению геометрической вероятности искомая вероятность равна отношению объема эллипсоида (в который точка должна попасть) к объему шара (в которой точка ставится), т.е. .

Так как , а , то получаем

Ответ: