Числовые характеристики дискретной случайной

Закон распределения дискретной случайной величины дает исчерпывающую информацию о ней, так как позволяет вычислить вероятности любых событий, которые связаны со случайной величиной. Однако ряд распределения бывает трудно обозримым и поэтому не всегда удобным для практического анализа. Приведем один пример. Пусть даны ряды распределения случайных величин – числа очков, выбиваемых первым и вторым стрелком, если каждый сделал 10 выстрелов. Необходимо выяснить, какой из этих двух стрелков стреляет лучше. Рассматривая ряды и полигоны распределения заданных случайных величин ответить на этот вопрос не просто из-за обилия числовых значений. В то же время, очевидно, что лучше стреляет тот, кто в среднем выбивает большее число очков. Таким средним значением случайной величины является ее математическое ожидание.

Определение. Математическим ожиданием(или средним значением) дискретной случайной величины называется сумма произведений всех ее значений на соответствующие им вероятности:

.

Свойства математического ожидания

1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:

.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

.

3. Математическое ожидание алгебраической суммы конечного числа случайных величин равно такой же сумме их математических ожиданий:

4. Математическое ожидание произведения конечного числа независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

.

2. Дисперсия случайной величины

Математическое ожидание не всегда дает возможность увидеть различие в поведении случайных величин. Второй важной характеристикой случайной величины является степень отклонения (разброса) случайной величины от ее математического ожидания (от ожидаемого среднего значения) – дисперсия случайной величины.

Определение. Дисперсией дискретной случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее среднего значения: .

Нетрудно доказать, что дисперсия может быть найдена также по формуле

Решая практические задачи, удобнее применять именно эту формулу.

Свойства дисперсии

1. ,

2. ,

3. .

Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины, а это не всегда удобно. Поэтому наряду с дисперсией для характеристики разброса значений случайной величины относительно ее математического ожидания используют также величину . Она называется средним квадратическим отклонением случайной величины:

Обратим внимание на то, что сама величина – случайная, а ее числовые характеристики являются величинами неслучайными, постоянными.

Их значение состоит в том, что они в сжатой форме выражают наиболее существенные свойства случайной величины.