Особливості нелінійних систем

Нелінійні системи

Нелінійною системою (НЛС)називається така, яка має в своєму складі принаймні один нелінійний елемент, який описується нелінійним рівнянням. Це приводить до того, що при математичному описі НЛС не виконується принцип суперпозиції (накладання реакцій). Всі реальні системи є нелінійними, при цьому нелінійним може бути як об’єкт, так і будь-який інший елемент, наприклад, регулюючий орган (клапан, засувка) або виконавчі механізми, які мають обмежений хід, що викликає відповідні обмеження щодо витрати речовини. Крім того, кінематичні механізми характеризуються наявністю тертя та зазорів.

Наявність нелінійностей в автоматичних системах є, як правило, шкідливим фактором за винятком тих випадків, коли нелінійні елементи вводяться спеціально, наприклад, для підвищення швидкодії. Використання нелінійних математичних залежностей приводить до того, що неможливо отримати загальні розв’язки, і доводиться задовольнятись лише частинними випадками.

Прикладом покращення якості системи керування може бути введення релейного елемента, який підвищує швидкодію за рахунок миттєвого змінювання сигналу керування: клапан займає два положення: min або max ходу. При дослідженні НЛС часто користуються методом лінеаризації характеристик, коли в робочому діапазоні ці характеристики можна наближено описати лінійними залежностями. В цьому випадку не відбувається принципових змін особливостей системи, а нелінійність називається несуттєвою. Часом нелінійностями можна знехтувати, наприклад, коли зона нечутливості мала в порівнянні з усталеним відхиленням регульованої координати, яке визначається без урахування нелінійності.

Суттєвими нелінійностями називають такі, які приводять до значних змінювань характеристик системи, і ними не можна нехтувати при розв’язанні задач аналізу та синтезу автоматичних систем. Автоматичні системи із суттєвими нелінійностями мають ряд принципових особливостей, які не характерні для лінійних систем. До цих особливостей відносяться такі:

- форма і показники якості перехідного процесу залежать від величини вхідного сигналу (амплітуди), а вихідні коливання при подачі на вхід НЛС гармонійного сигналу можуть мати іншу форму і частоту (в лінійних системах форма і частота вихідного і вхідного сигналів співпадають);

- залежність умов стійкості від величини зовнішнього сигналу: НЛС може бути стійкою при одних значеннях сигналу і нестійкою – при інших. В зв’язку з цим для НЛС використовують визначення “стійкість в малому”, “стійкість у великому”, “стійкість в цілому” відповідно при малих, великих або будь-яких початкових відхиленнях;

- наявність в НЛС режиму автоколивань – стійких власних коливань, які виникають у зв’язку з наявністю в системі суттєвих нелінійностей. Режим автоколивань зовні схожий з перехідним процесом у лінійній системі, коли вона знаходиться на межі стійкості. Для лінійних систем цей режим є неробочим: коливання з часом мають характер збіжних або розбіжних коливань, а в НЛС автоколивання можуть зберігатись як завгодно довго, а їх амплітуда та частота залежать від властивостей окремих елементів та величини зовнішніх сигналів. Прикладом такого режиму є робота НЛС з релейним елементом, наприклад, компресерного холодильника, коли двигун компресора знаходиться в двох станах – включено, виключено, і відповідно змінюється температура в холодильній камері.

Джерелами нелінійностей в автоматичних системах є:

- наявність неоднозначних, зокрема гістерезисних, характеристик елементів;

- протікання в об’єктах одночасно різних за природою процесів (тепло- та масобмінних, гідродинамічних, хімічних перетворень);

- наявність нестаціонарностей та нерівномірностей, зокрема так званих застійних зон в об’єкті.

Динаміка НЛС описується нелінійними диференціальними рівняннями, які в порівнянні з лінійними не мають загальних розв’язків, тому в практичних розрахунках використовуються деякі спеціальні методи: фазового простору, гармонійної та статистичної лінеаризації і інш.