Основні поняття теорії розмірності

Лабораторна робота №1

Тема: “Методи фізичного модулювання”

 

Фізичне моделювання передбачає збереження природи явища, що вивчається. Змінюється тільки масштаб. Для того, щоб модель давала правильну інформацію про натуру, вона повинна бути побудована по законах подібностей.

Подібними називають системи тіл, які геометрично подібні одна одній, та в яких однойменні величини, що характеризують природні явища, відносяться між собою як постійні числа.

Геометричний масштаб моделі призначають довільно. Масштаби інших величин, наприклад, сили, напружень, необхідно визначати на підставі законів подібностей.

Основні поняття теорії розмірності.

Фізичні величини бувають такими, що мають розмірність (час, сила, швидкість, довжина), та – безрозмірними (коефіцієнт тертя, коефіцієнт опору кочення). Розрізняють основні розмірності та похідні. Основну розмірність не можна виразити через інші розмірності. В механіці існує всього три величини з основною розмірністю:

o Час – Т;

o Відстань – L;

o Маса або сила – М.

Всі інші розмірності є похідними. Формула для їх визначення має такий загальний вигляд

,

де – дійсні числа.

Тоді:

o Розмірність швидкості – ;

o Розмірність прискорення –

o Розмірність сили –

o Розмірність роботи – .

Відповідно до типу розмірності розрізняють величини з незалежною розмірністю та – з залежною.

π – теорема подібностей (друга теорема)

Всяке повне рівняння фізичного процесу між величинами, яке записано в певній системі одиниць, може бути представлено у вигляді залежності між безрозмірними комплексами, які мають назву критерії подібності (k – кількість величин з незалежними розмірностями).

 

Застосування цієї теореми розглянемо на прикладі рівняння, що описує фізичний процес навантаження балки на двох опорах зосередженою силою та виникнення в ній напружень згину. Схема навантаження балки представлена на риc1.1.

 

P h

 

b

l

 

Рис. 1.1. Схема навантаження балки.

 

Для складання повного рівняння процесу необхідно знати всі фізичні величини, що приймають участь у його формуванні. Математичні залежності між цими величинами суттєвого значення не мають.

Напруження згину є функцією таких величин Для довідки: Тоді загальне рівняння процесу навантаження балки

(1)

 

Фізичні величини, що входять у повне рівняння розглядає мого процесу мають такі розмірності: l, м; P, Н; h, м; Ϭ,

Позначемо розмірності незалежних величин у такій спосіб: [ l ]=L; [P]=F. Тоді, розмірності інших величин будуть мати такі позначення: [b]=L; [h]=L; [Ϭ]=

Змінемо одиниці вимірювання незалежних величин в разів (наприклад, вимірювали довжину в мм, силу в Н, а почали вимірювати довжину в м, силу – в кН), то їх значення приймуть вигляд

;

Величини з залежними розмірностями будуть дорівнювати

; ;

В зв’язку з тим, що вибір коефіцієнтів довільний, призначемо:

.

Перепишемо рівняння (1) в новій системі одиниць

).

Або . Таким чином, замість рівняння (1), до складу якого

входило п’ять фізичних величин з розмірностями, в тому числі, дві – з

незалежними, отримали рівняння з трьома безрозмірними величинами. Ці

безрозмірні величини мають назву критерії подібності.

Перша теорема подібності

У випадку,коли явища подібні, їх критерії подібності однакові.

З першої теореми подібності витікає, що критерії подібності однакові

для моделі та натури. Це положення дозволяє визначати масштаби моделювання.

Для того, щоб розрізняти критерії подібності моделі та натури, введемо індекси:

“м” – модель; “н” – натура.

Лінійний масштаб:

Другий і третій критерії подібності вказують на те, що масштаби лінійних

розмірів в поперечному перерезі дорівнюють масштабу повздожного розміру.

Масштаб напружень: