Вариация альтернативного признака

В случае качественных альтернативных признаков, имеющих только два взаимоисключающих варианта значений (да и нет; качественные изделия и бракованные и т.д.), дисперсия рассчитывается по формуле

,

где p – удельный вес единиц, обладающих некоторым значением признака;

q – удельный вес единиц, не обладающих некоторым значением признака.

Очевидно, что р + q = 1.

Предельное значение вариации доли альтернативного признака равно 0,25 (р∙q = 0,5∙0,5 = 0,25).

Решение типовых задач

Пример 3.1. Цены на товар А в районах области составили:

 

Район	Цена за ед., руб. Р	Числен-ность населения в процентах к итогу f	Расчётные графы
				-14			4 900	0,98
			1 120	-3				0,21
							2 304	0,84
				-10			1 100	0,70
							4 732	1,82
						1 156	6 936	2,38
				-8				0,56
Итого			3 798		1 158		20 452

 

Дадим оценку колеблемости цен на данный товар в районах области.

Решение

Для оценки колеблемости цен в области на товар А рассчитаем (вспомогательные расчёты приведём в таблице):

1. Размах вариации цен

2. Среднюю цену товара

3. Среднее линейное отклонение

4. Среднее квадратическое отклонение

5. Коэффициент вариации

Так как V>33 %, то колеблемость цен на товар А в области следует признать весьма заметной, а совокупность районов по уровню цен неоднородной.

6. t – критерий

Так как для всех районов ti<3, то цены на товар А в каждом районе можно считать типичными.

Пример 3.2. Заработная плата 12 продавцов магазина характеризуется следующими данными:

Группа продавцов по стажу работы, лет	Число продавцов	Месячная заработная плата каждого продавца за сентябрь, руб.
1. До 5		5 234; 7 895; 6 370; 9 870; 10 270; 8 400; 8 590
2. Свыше 5		12 530; 8 940; 9 430; 6 400; 7 350

 

Используя правило сложения дисперсий, оценим влияние стажа работы на различия в уровне заработной платы продавцов.

Решение

В этой задаче необходимо разложить общую вариацию заработной платы (общую дисперсию) на систематическую, связанную с профессией (межгрупповую дисперсию), и случайную, обусловленную всеми прочими факторами, кроме профессии (внутригрупповую дисперсию).

1. Средний уровень заработной платы в каждой группе и по магазину в целом:

2. Внутригрупповые и средняя из внутригрупповых дисперсий:

.

Средняя из внутригрупповых дисперсия характеризует вариацию заработной платы в результате действия случайных, неучтённых факторов.

3. Межгрупповая дисперсия:

Межгрупповая дисперсия характеризует систематическую вариацию заработной платы в результате действия признака-фактора, положенного в основание группировки – стажа работы

4. Общая дисперсия:

Общая дисперсия характеризует общую вариацию заработной платы, сложившуюся в результате действия как систематического фактора (стажа работы), так и всех прочих неучтённых факторов (образование, квалификация и т.д.).

5. Правило сложения дисперсий:

6. Среднее квадратическое отклонение:

Коэффициент вариации:

Совокупность продавцов достаточно однородна по уровню заработной платы, так как значение коэффициента вариации меньше 33%.

8. Эмпирический коэффициент детерминации:

, или 4,7%. Это означает, что только на 4,7% вариация заработной платы продавцов за сентябрь обусловлена различиями в их стаже работы и на 95,3% — влиянием прочих факторов.

9. Эмпирическое корреляционное отношение:

В соответствии с соотношениями Чэдока можно сказать, что связь между стажем работы и уровнем заработной платы продавцов слабая.

Пример 3.3. В трёх партиях мясных консервов, представленных на контроль качества, бракованными оказались 1,5% в первой партии, состоящей из 1000 банок; 2,5% — во второй партии (1200 банок); 3,5% — в третьей партии (1500 банок). Определим средний процент бракованной и годной продукции, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации всей партии по качеству.

Решение

Средний процент бракованной продукции:

, или 2, 65 %.

Средний процент годной продукции:

, или 97,35%.

Дисперсия удельного веса бракованной продукции:

Среднее квадратическое отклонение:

Коэффициент вариации удельного веса годной продукции:

Так как значение коэффициента вариации меньше 33%, можно утверждать, что совокупность партии мясных консервов является однородной по качеству.