Пример исследования нестационарных и нелинейных процессов

2.2.1. Постановка задачи

Провести исследование нестационарной системы, замкнутая структурная схема которой представлена на рисунке 8.

При этом:

· оценить переходные процессы при задании на вход контура слежения скачкообразного, а также синусоидального сигналов;

· построить фазовые траектории ошибки Δ.

; , T2 = 0.05 c.

Таблица 1. Исходные данные

t, c
Ko
T1, c	1.0	0.8	0.6	0.5	0.5	0.5
K1,1/c		0. 9	0.7	0. 5	0.4	0.4

Как следует из рассмотрения приведенных данных, большинство параметров системы является функцией времени. Кроме того, в системе присутствует нелинейность.

Синусоидальный входной сигнал имеетвид: x=A sin (2p f t + j₀), A = 0.3, f=0.5 Гц, аскачкообразный сигнал – единичную ступеньку.

 

2.2.2. Методика формирования модели в системе MatLab

2.2.2.1. В командном окне MatLab (Command Window) зададим все исходные данные модели, представленные выше, как переменные во времени (из таблицы), так и постоянные:

>> t=[0 3 10 20 35 50]

>> K0=[10 9 7 5 5 5 ]

>> T1=[1 0.8 0.6 0.5 0.5 0.5]

>> K1=[1 0.9 0.7 0.5 0.4 0.4]

>> T2=2.5

2.2.2.2. Используя подсистему SIMULINK системы MatLab, “наберем” каждое звено исходной структурной схемы.

· Усилительное звено с переменным передаточным коэффициентом K₀ (t)

Для этого понадобятся следующие блоки библиотеки:

- из раздела блоков Look-Up Table (блоки задания таблиц):

- блок Look-Up Table - для задания одномерной таблицы (в виде функции одной переменной);

- из раздела блоков Math Operations ( блоки элементов, определяющих математические операции):

- блок GAIN, Matrix Gain – усилитель (выполняет умножение входного сигнала на постоянный коэффициент)

;

- блок Product - блок умножения и деления (выполняет вычисление произведения текущих значений сигналов)

;

– блок Sum – сумматор (выполняет вычисление сумы текущих значений)

;

- из раздела Sources ( блоки источников сигналов):

- Clock - источник времени (формирует сигнал, величина которого на каждом шаге равна текущему времени моделирования)

.

Схема имеет вид, представленный на рисунке 9.

Примечание. Для обеспечения удобства чтения схем при размещении блоков в структурной схеме использован поворот отдельных блоков относительно исходного направления. По умолчанию SIMULINK задает направление вход – выход слева направо. (На рисунке изменено направление размещения блока Clock – источник времени и блока Look-Up Table -задание одномерной таблицы).

Данная операция выполняется следующим образом.

выделяется блок (левой кнопкой мыши) Þ щелчком правой кнопки вызывается контекстное меню Þ в подменю Format активизируется опция Rotate Block (поворот блока на 90⁰), Þ для изменения направления размещения (поворота на 180⁰) можно использовать опцию Flip Block.

Для уменьшения количества одновременно отображаемых на экране блоков, представленную схему можно свести к одному отдельному блоку – к подсистеме. Проделаем данную операцию с полученной схемой для формирования коэффициента K₀.

С этой целью:

левой кнопкой мыши, не отпуская, выделяются все блоки (см. рисунок 9) Þ правой кнопкой вызывается контекстное меню Þ из этого меню выбирается опция Create Subsystem Þ по этой опции все блоки выделяются в одну подситем Þ для удобства можно изменить название подсистемы.

Результат такого объединения представлен на рисунке 10.

Примечание. Состав подсистемы можно восстановить двумя щелчками левой кнопки мыши

· Интегро-дифференцирующее звено W1 с переменной постоянной времени T₁(t)

Приведенное на схеме (см. рисунок 8) операторное выражение W₁ представим в виде структурной схемы, которая будет аналогична представленной на рисунке 6.Схема, реализующая указанное звено, примет вид, представленный на рисунке 11.

Для удобства группу блоков на рисунке 11, формирующих переменный коэффициент b₁ можно объединить в один и присвоить имя b₁.

Результат представлен на рисунке 12.

· Усилительное звено с переменным передаточным коэффициентом K₁ (t)

Звено “набирается” таким же образом, как и звено K₀ (t).

Результирующая схема представлена на рисунке 13.

После последующего объединения блоков схемы в один блок получим соответствующую подсистему, приведенную на рисунке 14.

 

2.2.2.3. Соединение всех звеньев в соответствии с исходной структурной схемой.

Помимо набранных выше звеньев с переменными коэффициентами дополним модель нелинейностью N (типа “насыщение” ), интегратором , а также сумматором .

Итоговая схема для моделирования в нашем случае может выглядеть так, как это представлено на рисунке 15.

2.2.2.4 Исследование системы.

Для исследования процессов можно использовать любой из способов представления графиков:

- либо осциллографа Scope;

- либо графопостроитель XY Graf;

- блок записи в рабочую область MatLab To Workspase исследуемых переменных на выходе нужного блока с последующим построением графиков с использованием оператора plot.

2.2.3. Пример результатов исследования

Оценим отработку системой входных сигналов:

- единичная ступенька;

- синусоидальный сигнал с заданными параметрами.

Уровень ограничения заданной нелинейности типа “насыщение” для определенности ограничим уровнем 0.5.

Результаты моделирования в виде переходных процессов на выходе приведены на рисунках 16 и 17.

Как следует из рассмотрения рисунка 17, амплитуда выходного сигнала уменьшается с течением времени, что вызвано переменностью коэффициента передачи K₀, K₁ во времени.

Получим фазовую траекторию ошибки Δ при задании на входе синусоидального сигнала A sin(ω*t) при A=1 и ω=1/рад/c.

Для этого, как сказано выше, необходимо иметь помимо ошибки Δ скорость dΔ/dt. Ее легко получить, если воспользоваться блоком вычисления производной Derivative из группы блоков Continuous.

На рисунке 18 приведена схема (аналогичная представленной на рисунке 15), снабженная блоком вычисления производной. А на рисунке 19 – фазовая траектория ошибки dΔ/dt=f( Δ).

Задание на самостоятельную работу

 

3.1. Дана нестационарная и нелинейная система, структурная схема которой представленная на рисунке 20.

где x, y– вход и выход системы; W_i (s) – операторные выражения передаточных функций системы; Δ – ошибка регулирования; N – нелинейное звено.

Исходные параметры системы для различных вариантов заданы в таблицах 2 и 3.

 

3.2. “Набрать ” модель с использованием пакета SIMULINK.

Таблица 2. Характеристики объекта управления

t, c
KОУ, м/с
fОУ,Гц	1.0	4.2	5.0	4.0	2.7	2.3	1.8

 

Характеристики динамических звеньев определяются следующими выражениями:

· Корректирующее звено:

, (28)

где , (29)

а f_ОУ (t) – из таблицы 2, T₂ и T₃ - из таблицы 3.

· Переменное усилительное звено:

, (30)

где K_ОУ(t), f_ОУ (t) – известные зависимости из таблицы 2.

· “Нестационарный” объект управления:

, (31)

где (32)

а K_ОУ(t) – из таблицы 2, x_ОУ – из таблицы 3.

· Кинематическое звено

. (33)

· Нелинейное звено N – одним из двух видов

- первый, определяемый зависимостью

, (34)

где - нелинейность типа насыщение с порогами ограничения на уровне ±1;

k_н – коэффициент передачи до ограничения сигнала, k_н = 0.20;

- второй, определяемый зависимостью

, (35)

где - нелинейность типа ”насыщение” с порогами ограничения на уровне ± 8, ограничивающий входной сигнал U_вх.

Рекомендация: При формировании нелинейности второго типа воспользуйтесь блоком Trigonometric Function из раздела блоков Math Operations.

 

3.3. Провести исследование системы при задании на вход:

· скачкообразного и

· гармонического сигнала x=A_вх sin (2π f_вх t) при двух значениях частоты: f_вх=0.5 Гц и f_вх=1 Гц с заданной амплитудой A_вх.

При этом провести анализ качества процессов на выходе системы:

- перерегулирование;

- время переходного процесса;

- построить фазовые траектории.

 

3.4 Результаты представить в виде графиков.

 

Отчетность

4.1. Результаты исследований сохранять в личной папке в соответствующем M-файле.

4.2. По работе оформить отчет в виде Пояснительной записки в текстовом процессоре MS Word:

- на электронном носителе;

- на бумажном носителе.

 

 

Таблица 3. Варианты исходных параметров системы

№ варианта	Входной сигнал Aвх	Фильтр Wкф(s)	Kус(t)	N, в соответствии с выражением	Объект управления WОУ(s)
T1, с,	T2, с	T3, с	KОУ(t)	TОУ, с,	ξОУ
	0.30	в соответствии с выражением (29) и таблицей 2	0.04	0.005	в соответствии с выражением (30) и таблицей 2	(34)	В соответствии с таблицей (2)	в соответствии с выражением (32) и таблицей 2	0.4
	0.45	0.05	0.005	(35)	0.3
	0.55	0.06	0.005	(34)	0.2
	0.30	0.07	0.005	(35)	0.6
	0.45	0.08	0.005	(34)	0.6
	0.55	0.09	0.005	(35)	0.5
	0.65	0.10	0.005	(34)	0.4
	0.75	0.04	0.005	(35)	0.3
	0.85	0.05	0.004	(34)	0.2
	0.90	0.06	0.003	(35)	0.1
	1.00	0.07	0.004	(34)	0.4
	1.20	0.08	0.007	(35)	0.3
	0.30	0.09	0.009	(34)	0.2
	0.45	0.10	0.010	(35)	0.6
	0.55	0.04	0.004	(34)	0.6
	0.30	0.05	0.003	(35)	0.5
	0.45	0.06	0.004	(34)	0.4
	0.55	0.07	0.007	(35)	0.3
	0.65	0.08	0.009	(34)	0.2
	0.75	0.09	0.010	(35)	0.1
	0.85	0.10	0.004	(34)	0.3
	0.90	0.04	0.003	(35)	0.2
	1.00	0.05	0.004	(34)	0.1
	1.20	0.06	0.007	(35)	0.2
	1.00	0.07	0.005	(34)	0.1