Необходимое и достаточное условие экстремума

Рассмотрим функцию у = f (x), определённую на промежутке (). Пусть х ₀ Î (), δ – некоторое положительное число. Будем называть δ -окрестностью точки х ₀ интервал (х ₀ − δ; х ₀ + δ) и обозначать его О (х ₀; δ).

Определение 8.4. Если можно указать такую δ-окрестность точки х ₀, принадлежащую (), что для всех х Î О (х ₀; δ), х ≠ х ₀ выполняется неравенство f (x ₀) > f (x), то у ₀ = f (x ₀) называют максимумом функции у = f (x) и обозначают через max f (x) (рисунок 8.1).

Если же для всех х Î О (х ₀; δ), х ≠ х ₀ выполняется неравенство f (x ₀) < f (x), то у ₀ = f (x ₀) называют минимумом функции у = f (x) и обозначают через min f (x) (рисунок 8.2).

	Рисунок 8.1		Рисунок 8.2

 

Отметим, что максимум и минимум функции имеют локальный характер (это наибольшее и наименьшее значение функции в достаточно малой окрестности соответствующей точки); отдельные минимумы некоторой функции могут оказаться больше максимумов той же функции (рисунок 8.3).

Определение 8.5. Максимум и минимум функции называют экстремумом. Значение аргумента, при котором достигается экстремум, называется точкой экстремума.

Теорема 8.3. (необходимое условие экстремума).

В точке экстремума дифференцируемой функции производная её равна нулю.

Рисунок 8.3

Доказательство. Пусть х ₀ – точка экстремума дифференцируемой функции f (x). Для определённости положим, что х ₀ – точка максимума. Тогда для достаточно малых ( < δ, δ > 0) , поэтому . Теперь

< 0 при > 0;

> 0 при < 0;

откуда ≤ 0,

≥ 0.

Так как функция дифференцируема, то

0 ≤ = f '(x ₀) = ≤ 0,

откуда следует f '(x ₀) = 0. Аналогично рассматривается случай, когда х ₀ – точка минимума функции.

Замечание 8.1. Если f '(x ₀) = 0, то отсюда ещё не следует, что х ₀ – точка экстремума. Например, для функции f (x) = x ³, f '(x) = 3 x ², f '(0) = 0, но х ₀ = 0 не является точкой экстремума, т. к. f (x) > 0 при х > 0 и f (x) < 0 при х < 0 (рисунок 8.4).

Замечание 8.2. Функция может достигать экстремума также в точке, в которой производная не существует. Например, функция у = не имеет производной в точке х ₀ = –1, но достигает в ней максимума (рисунок 8.5).

Функция у = не имеют конечной производной в точке х ₀ = 0, т. к. у ' = при х = х ₀ = 0 обращается в бесконечность, но в этой точке функция имеет минимум (рисунок 8.6).

Определение 8.6. Точка, в которой производная равна нулю, называется стационарной. Стационарные точки, а также точки, в которых функция имеет бесконечную производную или в которой производная не существует, называются критическими.

Таким образом, точки экстремума следует искать среди критических точек.

Определение 8.7. Говорят, что функция у = f (x) меняет знак при переходе через точку х = х ₀, если f (x ₁) f (x ₂) < 0 для любых х ₁, х ₂ из некоторой окрестности этой точки, удовлетворяющих неравенствам х ₁ < x ₀ < x ₂; знак меняется с плюса на минус, если f (x ₁) > 0, f (x ₂) < 0; знак меняется с минуса на плюс, если f (x ₁) < 0, f (x ₂) > 0.