Алгебра отношений, модель, графы и мографы;

Отношение — математическая структура, которая формально определяет свойства различных объектов и их взаимосвязи. Отношения обычно классифицируются по количеству связываемых объектов (арность) и собственным свойствам (симметричность, транзитивность и пр.). В математике примерами отношений являются равенство (=), коллинеарность, делимость и т. д.

n-местным (n-арным) отношением, заданным на множествах M₁, M₂, … M_n, называется подмножество прямого произведения этих множеств.

Термин «алгебра отношений» используется как синоним термина «логика отношений». Раздел логики, изучающий высказывания об отношениях между объектами разной природы, называется логикой отношений.

На языке теории множеств и алгебры n-местным (n-арным, в частности, бинарным) отношением называется множество (класс) упорядоченных систем из n элементов (упорядоченных n-ок, соответственно — упорядоченных пар) членов некоторого множества. Это множество называется полем данного отношения.

Свойства отношений рассмотрим на примере свойств бинарных отношений:

А - множество, ρ - отношение на А.

1) R - рефлексивно, если для любого хÎА имеем хRх, т.е. х находится в отношении сам с собой.

2) R - симметрично, если хRy ==> yRх.

3) R - антирефлексивно, если не существует хÎА: хRх, т.е. R выполняется только для не совпадающих элементов.

4) R - не рефлексивно, если существует хÎА такой, что (х,х) не принадлежит R.

5) R - асимметрично, если из xRy и yRx хотя бы одно не выполняется.

6) R - антисимметрично, если для любых (x,y)ÎА из того, что xRy и yRx ==> х=y (≤).

7) R - транзитивно, если для любых x,y,z ÎA выполняется: из xRy и yRz ==> xRz

Для отношений определяются понятия области определения данного отношения и области его значений. Множество первых элементов упорядоченных пар (xRy), входящих в отношение R, составляет его область определения (область отправления). Множество их вторых элементов составляет область значений (область прибытия).

Поскольку отношения являются частными случаями множеств, для них вводятся операции объединения (суммы), пересечения (произведения) и дополнения отношений.