Интегрирование иррациональных функций. Выделяют четыре основных типа интегралов, содержащих иррациональные функции:

Выделяют четыре основных типа интегралов, содержащих иррациональные функции:

· Первый тип включает в себя интегралы, которые вычисляются методом замены переменной.

Примеры:

a)

b)

с)

 

Таким образом, к первому типу можно отнести следующие подынтегральные выражения, представленные в таблице 5.

 

Таблица 5.

№	подынтегральное выражение	преобразования	замена	dx
1.
2.
3.
4.			,
5.	, где

· Ко второму типу относят интегралы вида , где P_n(x) – многочлен п- ой степени. Интеграл находится с помощью тождества, называемое методом неопределённых коэффициентов:

= ,

где Q_n-1(x) – многочлен степени равной п-1 с неопределёнными коэффициентами, λ – некоторый неопределённый коэффициент.

Примеры:

а)

Здесь n = 3, поэтому соответствующее тождество имеет вид:

.

Продифференцируем полученное выражение:

Умножим на и сгруппируем коэффициенты при одинаковых степенях х:

=

=

Итого =

=

 

b)

Здесь n = 4, поэтому соответствующее тождество имеет вид:

Дифференцируем полученное выражение:

Перегруппировываем:

· К третьему типу относят интегралы вида .

Интегрируются с помощью тригонометрической подстановки, которая называются подстановкой Эйлера. При необходимости выделяют под радикалом полный квадрат, т.е. , и вводят обозначение: , .

Примеры:

a)

b)

с)

Таким образом, введя новые обозначения имеем следующие подынтегральные выражения, которые будут иметь соответствующие тригонометрические подстановки, представленные в таблице 6.

№	подынтегральное выражение	замена	dt
		или	или
		или	или
		или	или

Таблица 6.

 

· Четвёртый тип , где m, n, и p – рациональные числа, называют интегралами от дифференциального бинома.

Академиком Чебышевым П.Л.[1] было доказано, что интеграл от дифференциального бинома может быть выражен через элементарные функции только в следующих трех случаях: Таблица 7.

№	случаи	замена
	р – целое число	или , где l-общий знаменатель m и n.
	– целое число	подстановкой , где s – знаменатель числа р.
	- целое число	, где s – знаменатель числа р.

Примеры:

a)

b)

Примеры интегралов, не выражающихся через

Элементарные функции

1. Интеграл вида :

a) Р(х) – многочлен третей или четвёртой степени без кратных

корней, такой многочлен называется эллиптическим:

· – эллиптический интеграл 1 рода;

· – эллиптический интеграл 2 рода;

· – эллиптический интеграл 3 рода.

(0 < k < 1, h – комплексное число)

b) Р(х) – многочлен степени выше четвертой, то интеграл называется ультраэллиптическим.

c) Р(х) – многочлен выражаемый через элементарные функции называется псевдоэллиптическим.

2. - интеграл Пуассона[2].

3. - интегралы Френеля[3].

4. - интегральный логарифм.

5. - интегральная показательная функция.

6. - интегральный синус.