Основные свойства неопределенного интеграла

ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ

1. За d v бери то, что позволяет легко найти v,

2. За u бери то, для которого du проще (arcsin(x), arctag(x), ln(x),…)

Инструкция 1. Интегралы от рациональных функций

Правило: разлагай R (x) = P(x)/Q(x) в сумму простых дробей, для этого находи корни уравнения Q(x)= 0, при этом простому корню а кратности к будут соответствовать к слагаемых, содержащих А ₁, А ₂, … А_к , (к слагаемых), а комплексно сопряженному корню x ² + px + q= 0 кратности l будут соответствовать слагаемые, содержащие в числителе M ₁ x + N ₁, M ₂ x + N ₂, … M_lx + N_l (l слагаемых), так что

 

 

Выражение в правой части снова «сворачивай» в дробь, приравнивай коэффициенты при одинаковых степенях x, получай систему уравнений и находи неизвестные коэффициенты А ₁, А ₂, … N ₁, M ₁ …

Инструкция 2. Интегралы от иррациональных функций.

1.

заменяй x =uⁿ, dx= n u^{n- 1} du так, что бы исчезли все корни

2. .

заменяй (ax + b)/ (px + q) = uⁿ так, что бы исчезли все корни

3. ò dx (ax ² +bx +c) ^1/2.

Выделяй полный квадрат, ò сводится либо к ò dx (1- x ²) ^1/2либо к ò dx (x ² ±1) ^1/2

а) ò dx (1- x ²) ^1/2| x = sin u, dx = cos udu |

b) ò dx (x ² +1) ^1/2| x = sh u, dx = ch udu, ch² u –sh² u =1, u = Arsh x = ln(x + )|

sh2 u = 2sh u ch u =2 x (x ²+1)^1/2

c) ò dx (x ² - 1) ^1/2| x = ch u, dx = sh udu,

4. ò dx / [(x -a)(ax ² +bx+c)^1/2 ] | Делай замену x -a= 1/ u Þ dx = -(1/ u ²) du, x =a+ 1/ u

5. ò(Ax + B) dx / (v)^1/2 = A ₁ (v)^1/2 + B ₁ ò dx/ (v)^1/2 (*)

Правило: 1) дифференцируй (*), 2) умножай на (v)^1/2 3) сравнивай коэффициенты

6. Подстановки Чебышева

ò x^m (a+bxⁿ) ^p dx

a) Если p целое, то возводи в p

b) Если (m +1) / n целое то Þ a+bxⁿ = z^r, r – знаменатель p

c) (m +1) / n +p Þ a+bxⁿ = xⁿ z ^r, r– знаменатель p

Инструкция 3. Интегралы от тригонометрических функций. Интегралы типа:

I. ; II ; III ;

IV

Есть универсальная подстановка, которая работает всегда:

РЕКОМЕНДАЦИИ.

1. Интегралы от четных степеней можно найти путем понижения степени вдвое (понижай степень- увеличивай аргумент!) по формулам

2. Интеграл от нечетных степеней : отделяй один из сомножителей и подводи под дифференциал, например:

3.Интегралы вида II можно найти по правилу 1, если m и n оба четны; если m или n -нечетно.

4. Интегралы вида III можно найти путем замены:

А)

Б)

5. Интегралы вида IV находятся путем разложения на слагаемые по формулам

Неопределенный интеграл.

1. F’ (x) = f (x).

F (x) первообразная от f (x).

2. ò f (x) dx= F (x) + C - множество первообразных

 

Основные формулы

 

0. ò0 dx =C,
1. ò xk dx = xk +1/ / (k +1) + C, k ¹ -1	2. ò dx/x = ln | x | + C
3. ò ax dx = ax / lna +C	4. ò ex dx = ex +C,
5. ò Cosx dx = Sinx +C,	6. ò Sinx dx =-Cosx +C
7. ò dx/Cos 2 x dx = òsec2 x dx= tgx +C,	8. ò dx/Sin 2 x dx = òcosec2 x dx=-ctgx +C
9.	10.
11.	12.
13. ò Chx dx = Shx +C,	14. ò Shx dx =Chx +C
15. ò Ch -2 x dx = thx +C,	16. ò sh -2 x dx =-cthx +C,
17.
18.
12.
9*.	10*
11*.	12*
19.
20.

Основные свойства неопределенного интеграла

1.(ò f (x) dx)’ = [ F (x) + C ]’= F’ (x) = f (x),

2. d (ò f (x) dx) =d [ F (x) + C ]= F’ (x) dx = f (x) dx,

3.ò f’ (x) dx = ò df (x)= f (x) + C,

4. ò C×f (x) dx = C× ò f (x) dx,

5. ò[ f (x) ±g(x)] dx = ò f (x) dx ±òg(x) dx,

6. ò f (u) du = F (u) + C.

Таблица основных дифференциалов

1. , dx= (1/2) d (2 x)=(1/2) d (2 x+b)=(1/3) d (3 x)=..	2. xdx= (1/2) d (x 2)=(1/2) d (x 2 + b )=(1/2 a) d (ax2 + b )
3.	4.
5.cos xdx = d (sin x) = d (sin x + b), cos axdx =(1/ a) d (sin ax) = (1/ ac) d (c sin x + b)	6. sin xdx =- d (cos x) = - d (sin x + b), sin axdx =-(1/ a) d (cos ax) = -(1/ ac) d (c cos x + b)
7. dx/ cos2 x =dtgx= d (tgx + b), dx/ cos2 ax = (1/ a) dtgax= (1/ aC) d (Ctgax + b)	8. dx/ sin2 x =-dctgx= -d (ctgx + b), dx/ sin2 ax =- (1/ a) dctgax=- (1/ aC) d (Cctgax+b)
9.	9.