Простейшие правила интегрирования

Первообразная функции, ее свойства. неопределенный

Интеграл. Простейшее интегрирование функций

Определение 1. Функция F (x) называется первообразной для функции f (x) на интервале X =(a, b) (конечном или бесконечном), если в каждой точке этого интервала f (x) является производной для F (x), т.е. .

Из этого определения следует, что задача нахождения первообразной обратна задаче дифференцирования: по заданной функции f (x) требуется найти функцию F (x), производная которой равна f (x).

Первообразная определена неоднозначно: для функции первообразными будут и функция arctg x, и функция arctg x -10: .

Свойства первообразной

1. Если функция F (x) - первообразная для функции f (x) на интервале X, то функция f (x) + C, где C - произвольная постоянная, тоже будет первообразной для f (x) на этом интервале.

2. Если функция F (x) - некоторая первообразная для функции f (x) на интервале X =(a, b), то любая другая первообразная F ₁(x) может быть представлена в виде F ₁(x) = F (x) + C, где C - постоянная на X функция.

3. Для любой первообразной F (x) выполняется равенство dF (x) = f (x) dx.

Из этих свойств следует, что если F (x) - некоторая первообразная функции f (x) на интервале X, то всё множество первообразных функции f (x) (т.е. функций, имеющих производную f (x) и дифференциал f (x) dx) на этом интервале описывается выражением F (x) + C, где C - произвольная постоянная.

Неопределённый интеграл и его свойства

Определение 2. Множество первообразных функции f (x) называется неопределённым интегралом от этой функции и обозначается символом .

Если F (x) - некоторая первообразная функции f (x), то , где C - произвольная постоянная. Функцию f (x) принято называть подынтегральной функцией, произведение f (x) dx - подынтегральным выражением.

Свойства неопределённого интеграла, непосредственно следующие из определения:

1. .

2. (или ).

Таблица неопределённых интегралов

	.
	.
	().
	.
	; .
	.
	.
	.
	.
	.
	.
	.
	.
	.
	.

	.
	.
	.
	; .

Любая непрерывная функция имеет первообразную и, как следствие, неопределённый интеграл. При изучении дифференцирования было установлено, что с помощью таблицы производных и правил дифференцирования без труда можно получить производную любой элементарной функции, и эта производная тоже будет элементарной функцией. Операция интегрирования этим свойством не обладает: даже относительно простые функции могут иметь первообразные, которые через элементарные функции не выражаются.

Доказано, что не берутся в элементарных функциях следующие интегралы, относящиеся к классу специальных функций:

- интеграл Пуассона;