Наивероятнейшее число появления события А в n независимых испытаниях

Наивероятнейшим числом появления события А в n испытаниях называется такое число появлений этого события (), вероятность которого наибольшая.

Наивероятнейшее число появлений события А в n испытаниях можно найти из неравенства:

n•p-q≤ ≥n•p+p

39. Случайные величины: дискретные и непрерывные. Примеры.

Дискретная с.в.- величина, множество возможных значений которой конечно или счетно.

Закон распределения и функция распределения дискретной случайной величины.

Функция распределения дискретной случайной величины.

Исходной информацией для построения функции распределения дискретной случайной величины X является ряд распределения этой СВ.

xi	x 1	x 2	x 3	...	xn	> xn
pi	p 1	p 2	p 3	...	pn
F (xi)		p 1	p 1+ p 2	…	p 1+..+ pn -1

F (x_i)=P{ X < x_i }=P{(X = x ₁)È(X = x ₂)È... È(X = x_{i- 1})}= p ₁+...+ p_{i -1}.

, то есть суммирование распространяется на все значения , которые меньше х.

Функция распределения любой дискретной СВ есть разрывная ступенчатая функция, скачки которой происходят в точках, соответствующих возможным значениям случайной величины, и равны вероятности этих значений.

(5.5)

Свойства интегральной функции распределения.

Функция распределения и ее свойства.

Наиболее общей формой закона распределения, пригодной для всех случайных величин (как дискретных, так и недискретных) является функция распределения.

Функцией распределения случайной величины X называется вероятность того, что она примет значение меньшее, чем аргумент функции x:

F (x)=P{ X < x }.

Геометрически функция распределения интерпретируется как вероятность того, что случайная точка X попадет левее заданной точки X (рис. 5.1). Из геометрической интерпретации наглядно можно вывести основные свойства функции распределения.

1. F (-¥) = 0. (5.2)

2. F (+¥) = 1. (5.3)

3. F (x) – неубывающая функция своего аргумента, т.е. при x ₁ < x ₂

F (x ₁) £ F (x ₂).

Доказательство этого свойства иллюстрируется рис. 5.2.

Представим событие C ={ X < x₂ } как сумму двух несовместных событий С=A+B, где A ={ X < x₁ } и B ={ x₁£X<x₂ }.

По правилу сложения вероятностей

P (C)= P (A)+ P (B),

т.е. P { X < x₂ }= P { X < x₁ }+ P{x₁£X<x₂ }, или

F(x₂)=F(x₁)+P{ x₁£X<x₂ }.

Но P{ x₁£X<x₂ }£0, следовательно, F (x ₁) £ F (x ₂)

4. P(α£ X < β) = F (β) - F (α), для "[α,β[ÎR. (5.4)

Доказательство этого свойства вытекает из предыдущего доказательства.

Вероятность того, что случайная величина Х в результате опыта попадет на участок от α до β (включая α) равна приращению функции распределени я на этом участке.

Таким образом, функция распределения F(x)любой случайной величины есть неубывающая функция своего аргумента, значения которой заключены между 0 и 1: 0≤F(x)≤1, причем F(-∞)=0, F(+∞)=1.