Собственные векторы и собственные значения матриц

Цель лабораторной работы

Знакомство с методами построения матрицы попарных сравнений и расчета ее собственного вектора.

Теоритическая часть

Матрицы парных сравнений

После построения иерархии устанавливается метод сравнения ее элементов. Если принимается метод попарного сравнения, то строится множество матриц парных сравнений. Для этого в иерархии выделяют элементы двух типов: элементы-"родители" и элементы-"потомки". Элементы-"потомки" воздействуют на соответствующие элементы вышестоящего уровня иерархии, являющиеся по отношению к первым элементами-"родителями". Матрицы парных сравнений строятся для всех элементов-"потомков", относящихся к соответствующему элементу-"родителю". Элементами-"родителями" могут являться элементы, принадлежащие любому иерархическому уровню, кроме последнего, на котором расположены, как правило, альтернативы. Парные сравнения проводятся в терминах доминирования одного элемента над другим. Полученные суждения выражаются в целых числах с учетом девятибалльной шкалы.

Степень значимости	Определение	Объяснение
	Одинаковая значимость	Два действия вносят одинаковый вклад в достижение цели
	Некоторое преобладание значимости одного действия над другим (слабая значимость)	Существуют соображения в пользу предпочтения одного из действий, однако эти соображения недостаточно убедительны
	Существенная или сильная значимость	Имеются надежные данные или логические суждения для того, чтобы показать предпочтительность одного из действий
	Очевидная или очень сильная значимость	Убедительное свидетельство в пользу одного действия перед другим
	Абсолютная значимость	Свидетельства в пользу предпочтения одного действия другому в высшей степени убедительны
2,4,6,8	Промежуточные значения между двумя соседними суждениями	Ситуация, когда необходимо компромиссное решение
Обратные величины приведенных выше ненулевых величин	Если действию i при сравнении с действием j приписывается одно из определенных выше ненулевых чисел, то действию j при сравнении с действием i приписывается обратное значение	Если согласованность была постулирована при получении N числовых значений для образования матрицы

Таблица 2.1 — Шкала оценки сравнения альтернатив

Заполнение квадратных матриц парных сравнений осуществляется по следующему правилу. Если элемент Е₁ доминирует над элементом Е₂, то клетка матрицы, соответствующая строке Е₁ и столбцу Е₂, заполняется целым числом, а клетка, соответствующая строке E₂ и столбцу Е₁, заполняется обратным к нему числом. Если элемент Е₂ доминирует над Е₁, то целое число ставится в клетку, соответствующую строке Е₂ и столбцу Е₁, а дробь проставляется в клетку, соответствующую строке Е₁ и столбцу Е₂. Если элементы Е₁ и Е₂ равнопредпочтительны, то в обе позиции матрицы ставятся единицы.

Для получения каждой матрицы эксперт или ЛПР выносит n(n-1)/2 суждений (здесь n — порядок матрицы парных сравнений).

Рассмотрим в общем виде пример формирования матрицы парных сравнений.

Пусть Е₁, Е₂,..., Е_n — множество из n элементов (альтернатив) и v₁, v₂,...v_n — соответственно их веса, или интенсивности. Сравним попарно вес, или интенсивность, каждого элемента с весом, или интенсивностью, любого другого элемента множества по отношению к общему для них свойству или цели (по отношению к элементу-"родителю"). В этом случае матрица парных сравнений [Е] имеет вид, изображенный в таблице 2.2.

[E] =		E₁	E₂	...	E_n
E₁	v₁/v₁	v₁/v₂	...	v₁/v_n
E₂	v₂/v₁	v₂/v₂	...	v₂/v_n
...	...	...	...	...
E_n	v_n/v₁	v_n/v₂	...	v_n/v_n

Таблица 2.2 — Общий вид матрицы парных сравнений

Матрица парных сравнений обладает свойством обратной симметрии, т. е.

а_ij = 1/а_ji, где а_ij = v_i/v_j

При проведении попарных сравнений следует отвечать на следующие вопросы: какой из двух сравниваемых элементов важнее или имеет большее воздействие, какой более вероятен и какой предпочтительнее.

При сравнении критериев обычно спрашивают, какой из критериев более важен; при сравнении альтернатив по отношению к критерию — какая из альтернатив более предпочтительна или более вероятна.

Собственные векторы и собственные значения матриц

Ранжирование элементов, анализируемых с использованием матрицы парных сравнений [Е], осуществляется на основании главных собственных векторов, получаемых в результате обработки матриц.

Вычисление главного собственного вектора W положительной квадратной матрицы [Е] проводится на основании равенства

EW = λ_max W (1)

где λ_max — максимальное собственное значение матрицы [E].

Для положительной квадратной матрицы [Е] правый собственный вектор W, соответствующий максимальному собственному значению λ_max, с точностью до постоянного сомножителя С можно вычислить по формуле

(2)

где е^T — единичный вектор-строка = (1,1,…,1);

e — единичный вектор-столбец =

k = 1, 2, 3,... — показатель степени;

С — константа;

Вычисления собственного вектора W по выражению (2) производятся до достижения заданной точности:

где l — номер итерации, такой, что l = 1 соответствует k= 1; l = 2, k = 2;

— допустимая погрешность.

С достаточной для практики точностью можно принять = 0,01 независимо от порядка матрицы.

Умножение e^TW – можно производить сложением всех элементов W

Максимальное собственное значение вычисляется по формуле:

Индивидуальное задание

Разработать программу, которая запрашивает число альтернатив, после этого, она последовательно задает вопросы о доминировании одной альтернативы, над другой, до тех пор, пока вся матрица не будет заполнена.

Описание разработанной программы:

Программа имеет консольный интерфейс. При запуске требуется ввести размерность матрицы попарных сравнений. В случае ввода недопустимого значения происходит завершение программы. После ввода размерности требуется последовательно ввести оценку для каждой пары альтернатив, располагающейся слева от главной диагонали (остальные значения будут вычислены на основе введённых данных). Если введённое значение недопустимо, пользователь должен повторить ввод для этой пары альтернатив. После ввода всех значений на экран выводится матрица попарных сравнений. Далее в консоль выводится собственный вектор полученной матрицы, после чего программа просит нажать клавишу Escape для завершения программы.

Скриншоты

...

Исходный код программы

...

Ответы на контрольные вопросы

1. Матрица парных сравнений — это квадратная матрица, элементами которой являются оценки всех возможных пар альтернатив, которые подвергаются сравнению.

2. В методе парных сравнений существует иерархическая структура. Она изображена на рисунке 4.1. Элементы этой структуры и выступают по отношению друг к другу “родителями” и “потомками” в соответствии с их положением в иерархии.

Рисунок 4.1 — Иерархия в методе анализа альтернатив

3. Для заполнения матрицы ЛПР выносит n(n-1)/2 суждений (здесь n — порядок матрицы парных сравнений). Каждое суждение может принимать значения, указанные в таблице 2.1. С помощью этих суждений и обратных им суждений и происходит заполнение квадратной матрицы парных сравнений.

4. Вычисление главного собственного вектора W производятся по выражению 2.2.

5. Степень значимости отражает отношение двух альтернатив. Если степень значимости больше 1 — первая альтернатива предпочтительнее, если меньше 1 — вторая альтернатива предпочтительнее, если равна 1 — альтернативы имеют одинаковую значимость. Подробно степени значимости описаны в таблице 2.1.

Выводы

В ходе выполнения работы были изучены методы построения матрицы попарных сравнений и расчёта её собственного вектора. Эти методы были реализованы в консольной программе, написаной на ЯП Java. Данная программа запрашивает размерность n матрицы, а также запрашивает ввод n(n-1)/2 степеней значимости альтернатив, а на выходе выдаёт вектор полученной матрицы. Также программа корректно обрабатывает ошибки, связанные со вводом недопустимых данных.