Пункт 4. Определенный интеграл и его свойства. Формула Ньютона-Лейбница

Пусть на отрезке [ a, b ] (b > a) задана непрерывная функция y = f (x), принимающая на этом отрезке неотрицательные значения: при . Требуется определить площадь S криволинейной трапеции ABCD, ограниченной снизу отрезком [ a, b ], слева и справа - прямыми x = a и x = b, сверху – функцией y = f (x).

Для решения этой задачи разделим произвольным образом основание AD фигуры точками x ₀ = a, x ₁ , x ₂ , …, x_{n -1} = a, x_n = b на n частей [ x ₀ , x ₁], [ x ₁ , x ₂], …, [ x_{i -1} , x_i ], …, [ x_{n -1} , x_n ]; символом будем обозначать длину i -го отрезка: . На каждом из отрезков [ x_{i -1} , x_i ] выберем произвольную точку , найдём , вычислим произведение (это произведение равно площади прямоугольника P_i с основанием [ x_{i -1} , x_i ] и высотой ) и просуммируем эти произведения по всем прямоугольникам. Полученную сумму обозначим S _ступ: .

S _ступ равно площади ступенчатой фигуры, образованной прямоугольниками P_i, i = 1,2,…, n; на левом рисунке эта площадь заштрихована. S _ступ не равна искомой площади S, она только даёт некоторое приближение к S. Для того, чтобы улучшить это приближение, будем увеличивать количество n отрезков таким образом, чтобы максимальная длина этих отрезков стремилась к нулю (на рисунке ступенчатые фигуры изображены при n = 7 (слева) и при n = 14 (справа)). При разница между S _ступ и S будет тоже стремиться к нулю, т.е.
.

Пусть на отрезке [ a, b ] задана функция y = f (x). Разобьём отрезок [ a, b ] произвольным образом на n частей точками [ x ₀ , x ₁], [ x ₁ , x ₂], …, [ x_{i -1} , x_i ], …, [ x_{n -1} , x_n ]; длину i -го отрезка обозначим : ; максимальную из длин отрезков обозначим . На каждом из отрезков [ x_{i -1} , x_i ] выберем произвольную точку и составим сумму .
Сумма называется интегральной суммой.

Предел последовательности интегральных сумм при , не зависящий ни от способа разбиения отрезка [ a, b ] на части [ x_{i -1} , x_i ], ни от выбора точек , называется определённым интегралом от функции f (x) по отрезку [ a, b ] и обозначается , где функция f (x) называется подынтегральной, числа a и b - соответственно, нижним и верхним пределами интегрирования.

.

Свойства определенного интеграла:

1. , если b=a.

Геометрический смысл определённого интеграла. Если f (x) >0 на отрезке [ a, b ], то равен площади криволинейной трапеции ABCD, ограниченной снизу отрезком [ a, b ], слева и справа - прямыми x = a и x = b, сверху – функцией y = f (x).

Формула Ньютона-Лейбница.

Если f (x) непрерывна на отрезке [ a, b ], и F (x) - некоторая первообразная функции , то .