Дифференциал функции. Определение и свойства

Дифференциалом функции у=ƒ(х) в точке х называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается dу (или dƒ(х)): dy=ƒ'(х)•∆х.

 

Основные дифференциалы:

Дифференциал функции обладает свойствами, аналогичными свойствам производной.

1. Дифференциал постоянной равен нулю:
   dc = 0, с = const.
2. Дифференциал суммы дифференцируемых функций равен сумме дифференциалов слагаемых:

d(u+v)=du + dv

Следствие. Если две дифференцируемые функции отличаются постоянным слагаемым, то их дифференциалы равны

d(u+c) = du (c= const).

1. Дифференциал произведения двух дифференцируемых функций равен произведению первой функции на дифференциал второй плюс произведение второй на дифференциал первой:

d(uv) = udv + vdu.

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак дифференциала

d(cu) = cdu (с = const).

1. Дифференциал частного u/v двух дифференцируемых функций и = и(х) и v = v(x) определяется формулой

1. Свойство независимости вида дифференциала от выбора независимой переменной (инвариантность формы дифференциала): дифференциал функции равен произведению производной на дифференциал аргумента независимого от того, является ли этот аргумент независимой переменной или функцией другой независимой переменной.

Производные и дифференциалы высших порядков.

Пусть производная некоторой функции f дифференцируема. Тогда производная от производной этой функции называется второй производной функции f и обозначается f". Таким образом,

f" (x) = (f' (x)) '.

Если дифференцируема (n - 1)-я производная функции f, то ее n -й производной называется производная от (n - 1)-й производной функции f и обозначается f⁽ⁿ⁾. Итак,

f⁽ⁿ⁾ (x) = (f^(n-1) (x)) ', n ϵ N, f⁽⁰⁾ (x) = f (x).

Число n называется порядком производной.

Дифференциалом n -го порядка функции f называется дифференциал от дифференциала (n - 1)-го порядка этой же функции. Таким образом,

dⁿf (x) = d (d^{n -1} f (x)), d ⁰ f (x) = f (x), n ϵ N.

Если x - независимая переменная, то

dx = const и d ² x = d ³ x =... = dⁿx = 0.

В этом случае справедлива формула

dⁿf (x) = f ⁽ⁿ⁾(x)(dx) ⁿ.

Производные n -го порядка от основных элементарных функций

Справедливы формулы

Применение производных к исследованию функций.

Основные теоремы дифференцирования функций:

Теорема Ролля

Пусть функция f: [ a, b ] → R непрерывна на сегменте [ a, b ], и имеет конечную или бесконечную производную внутри этого сегмента. Пусть, кроме того, f (a) = f (b). Тогда внутри сегмента [ a, b ] найдется точка ξ такая, что f' (ξ) = 0.

 

Теорема Лагранжа

Если функция f: [ a, b ] → R непрерывна на сегменте [ a, b ] и имеет конечную или бесконечную производную во внутренних точках этого сегмента, то такое, что f (b) - f (a) = f' (ξ)(b - a).

 

Теорема Коши

Если каждая из функций f и g непрерывна на [ a, b ] и имеет конечную или бесконечную производную на ] a, b [ и если, кроме того, производная g' (x) ≠ 0 на ] a, b [, то такое, что справедлива формула

Если дополнительно потребовать, чтобы g (a) ≠ g (b), то условие g' (x) ≠ 0 можно заменить менее жестким: