Математическая подстановка, задача оптимизация

Пусть задано множество х и f(x) определенная на х. требуется найти точки минимума и макимума на Х.

F(x)->min, x э X (1)

F(x)->max, x э X(2)

Запись f(x) критерий оптимальности-целевая функция.

х э X допустимая точка решения

Х-множества допустимых решений.

Конечно мерными задачами оптимизации называются такие задачи в которых Х является подмножеством Rⁿ.

Бесконечно мерными задачами оптимизации называются такие задачи оптимизации в которых Х это множество из функциональных пространтв.

X=>функциональному пространству

x* э X называется:

а)точкой глобального минимума (максимума)

б)функцией f(X) или глобальным решением задачей 1 или 2, если выполняются неравенства.

f(x*)<=f(x), x э X (3)

(=>) (4)

В)точкой локального минимума (максимума), если выполняется неравенства

f(x*)<=f(x), x э X (5)

=> (6)

Где Х окрестность в точки х*.

Если неравенство в задачах 3,4,5,6 строгие, то говорят о строгом минимуме и строгом максимуме, соответственно в глобальном 3 и 4, и локальном 5 и 6, смыслах.

Глобальное решение является и локальным, обратное не верно. Тот факт что точка x* является точкой глобального минимума обозначают следующим образом

F(x*)=min f(x), x э X. (7)

Или

X*=argmin f(x), x э Х (8)

Множества всех точек глобального экстремума обозначается почти также Argmin f(x), x э X.

Аналогично вводится понятие для задач максимизации.

Решения задач 1 и 2, то есть точки минимума или максимума называются точками экстремума.

А сами задачи 1 и 2 экстремальными.

F(x)->max, x э Х (10)

F(x)->min, x э Х (11)

Эквивалентно в том смысле что локальные и глобальные, строгие и не строгие. Решения таких задач, совпадают. Это позволяет переносить результаты решения одной задачи на другую.

Задачи условной и безусловной оптимизации

Задача 1 называется задачей безусловной оптимизацией если совпадает с вещественным пространством.

X=Pⁿ

F(x)->min, x э Rⁿ

Задачей 1 называется задача условной оптимизации собственное подмножество n.

X с Rⁿ

F(x)->min

задачей безусловной оптимизации значительно проще по сравнению с условными задачами.

Классической задачей на условный экстремум называется такая задача 1, в которой множество Х задается системой конечного числа уравнений, то есть Х={x э Rⁿ/g_i(x)=0} обычно эту задачу записывают в виде f(x)=>min (14)

G_i(x)=0, i=1,m, x э Rⁿ(15)

Таким образом 14, 15 множество х не задается, а приводится система его определяющая. Классическая задача на условный экстремум.

Задача 14, 15 сводим с решению задачи безусловной оптимизации, вводят некоторую новую функцию называемой функцией Ла Гранша.

В задачи 14, 15 неизвестных было n, связанных m-уравнениями.

Решив эти уравнения находим искомые решения х*.

Искомое решение

Математическое программирование

Является важнейшим классом задачей оптимизации.

Такой задачей n математического программирования, называют задачей вида с которой

F(x)->min, x э Х

Х={x э P/g_i(x)<=0,\g_i,(x)=0,i=1,m}

В данном случае множества Х задается совокупностью неравенств, и m-k равенству. В которые эти равенства заданы на множестве P.

Задачу 1 и 2 записывают в виде

f(x)->min

gi(x) э 0,i=1,k

gi(x) э 0,i=k-1, x э 2,5)

здесь ограничения 4 являются неравенствами 4,5, а 5 равенствами при чем х принадлежит называются прямые ограничения.

Прямые ограничения.

Ограничения типа равенств неравенств называются функциональные.

Прямые ограничения могут иметь различную природу. В задачи 3-5 мате математического программирования может быть: не быть. K=0. Ограничение 5 (k=m) не быть вообще ограничений функциональных ограничений, а также прямых ограничений.

Деление ограничения на функциональные и прямые, условно. Можно провести преобразование, а следовательно преобразование упрощая задачу и придти к виду 1.

Форма и сложность записи зависит от цели конкретных исследований. Однако чем более подробно записи, тем больше информации в итоге можно получить.

Обычно в качестве прямых ограничений используют множество простой структуры.

P={x э Rⁿ/aj<=X,<=bj, j=1,n}

Aj=-8,bj=+8 для некоторых или всех j=1,n

Часто выбирают p=Rⁿ₊ или p=Rⁿ

Рисунки 1 (перерисовать) – 6 штук

В математическом программирование выделяют классы:

1)линейное программирование

2)нелинейное

И т.д. (см лек №2)