Погрешности функций измеренных величин (на примере тригонометрического и геометрического нивелирования)

Прямая и обратная геодезические задачи

а). Прямая

Дано: XA, YA, αAB, dAВ

Определить: XB, YB

Рис.11. Прямая и обратная геодезические задачи

Решение:

XB=XA+dAB. cos αAB=XA+ΔX,

YB=YA+dAB. sin αAB=YA+ΔY,

где ΔX и ΔY - приращения координат, т.е. проекции горизонтального проложения на соответствующие оси координат.

Контроль вычислений координат выполняют по формуле

 

б). Обратная геодезическая задача

Дано: XA, YA, XB, YB.

Определить: αAB, dAB.

Решение:

αAB - r = arctg (ΔY/ΔX),

Контроль: d. cos α + XA = XB,

d. sin α + YB = YB.

Примеры:

1. Определите координаты точки В, если XA=YA=100м, αAB=315°, dAB=100м (sin 315° = -0,70711, cos 315° =0,70711).

Решение: XB=XA+dAB. cosαAB=170,71 м,

YB=YA+dAB. sin αAB= 29,29 м.

2. Определите дирекционный угол направления ВС и горизонтальное проложение ВС, если XВ=YВ=1000м, XС=1100м, YС=900м.

Решение:

αВС→ rВС=arctg{(YC-YB)/(XC-XB)}=45° СЗ,

αВС=360° -45°=315°,

м

Погрешности функций измеренных величин (на примере тригонометрического и геометрического нивелирования)

Погрешность геодезических измерений (ошибка результата геодезических измерений) – отклонение результата геодезических измерений от истинного (действительного) значения измеряемой геодезической величины.

В геодезии традиционно применяется понятие "ошибка", а также понятие "невязка".

Геометрическое нивелирование – определение высот точек земной поверхности относительно исходной точки с помощью горизонтального луча.

1. Вычисляют невязку нивелирного хода:

ƒ_h=Σ(Σh_ср)-(H_Рп.7 – H_Рп.6)

Вычисляют допустимое значение невязки:

доп ƒ_h=50 мм.

Где L – длина хода в километрах.

Сравнивают полученную невязку с допустимой

Тригонометрическое нивелирование – определение высот точек земной поверхности относительно исходной точки с помощью угла наклона визирного луча, проходящего через две точки местности,

Выполняют тригонометрическое нивелирование с помощью теодолита в точке А угол наклона n визирного луча, проходящего через визирную цель в точке В, и зная горизонтальное расстояние s между этими точками, высоту инструмента l и высоту цели а (рис. 2), разность высот h этих точек вычисляют по формуле:

h = s tgn + l - a.

При использовании тригонометрического нивелирова­ния для топографических съемок в качестве визирной цели в точке В устанавливают нивелирную рейку. В этом случае d определяют с помощью нитяного дальномера.

Известно, что d=(Kn =с) cos² v. Подставив это значение в (146), получим формулу для вычисления превышения:

h = (Кп+с) cos² v tg v + i -

h = (1/2) (Кп +c) sin² v + i-

В процессу нивелирования на открытой местности при измерении угла v удобно визировать на точку, располо­женную на высоте прибора. Для этого на отсчете по рейке, равном i привязы­вают ленту. Тогда при i_n = v формула (147) примет вид

h = (1/2) (Кп + с) sin 2v. Для получения средней квадратической погрешности тригонометрического нивелирования найдем частные про­изводные (79):

dh/dd= tg v; dh/dv=d/ cos² v; dh / di_n=1; dh/dv=1;

Подставляя частные производные и значения средних квадратических погрешностей измеренных элементов в формулу (17), получаем

m_h:^2=m_d^2 tg v+d^2/ cos⁴ v * m²_v/ p^2+ m_i ^2+ m_v ^2

где m_h — средняя квадратическая погрешность определе­ния превышений тригонометрическим нивелированием. Обычно m_i и m_v бывают меньше 1 см и ими в расчётах точности можно пренебречь. При углах |v| <=5 можно принять tg v = v/p, cos v = 1. С учетом этот формула (79) примет следующий вид

m_h:^2=(v^2m_d^2+d²m²_v) (1/р ²)