Энергия гармонических колебаний

Колебания любых физических величин почти всегда связаны с попеременным превращением энергии одного вида в энергию другого вида.

Так, при отклонении маятника от положения равновесия увеличивается потенциальная энергия груза, запасенная им в поле тяжести; если груз отпустить, он падает, вращаясь около точки подвеса как около центра; в нижнем положении потенциальная энергия превращается в кинетическую, и груз проскакивает это положение равновесия, увеличивая снова потенциальную энергию. Далее процесс перекачки энергии повторяется, пока рассеяние (диссипация) энергии, обусловленное, например, трением, не приводит к полному прекращению колебаний (рис. 9).

Рис.9

 

Характерной чертой гармонического осциллятора является то, что средние значения кинетической и потенциальной энергии осциллятора равны друг другу и каждое из них составляет половину полной энергии. Покажем это. Кинетическую энергия колеблющегося тела можно определить, если в выражение для кинетической энергии подставить скорость

Потенциальная энергия, обусловленная упругой силой, определяется как эквивалент работы, необходимой для смещения тела на расстояние x от положения равновесия, и равна:

Учитывая, что k=ω²x, получим:

Полная механическая энергия осциллятора равна:

E=E_K+E_P.

Из выражений (1) и (2) видно, что кинетическая и потенциальная энергии изменяются со временем, причем, когда кинетическая энергия максимальна, потенциальная энергия обращается в нуль, и наоборот (рис.9.1).

Рис.9.1

 

Период колебания кинетической и потенциальной энергий вдвое меньше периода колебаний системы. Полная механическая энергия гармонического колебания постоянна и пропорциональна квадрату амплитуды и квадрату частоты. Постоянство полной механической энергии обусловлено отсутствием потерь энергии на совершение работы против сил сопротивления.

 

Свободные затухающие колебания.

Реально свободные колебания под действием сил сопротивления всегда затухают. Объясняется это действием сил, тормозящих движение, например, сил трения в месте подвеса при колебаниях маятника, или силой сопротивления среды. В этом случае энергия механических колебаний постепенно расходуется на работу против этих сил. Поэтому свободные колебания под действием сил сопротивления всегда затухают. Затухание нарушает периодичность колебаний, потому они уже не являются периодическим процессом (рис.10).

Пусть точка совершает линейное гармоническое колебание в вязкой среде. Из опыта известно, что сила сопротивления среды зависит от скорости и направлена в сторону, противоположную скорости. При малых скоростях: где r – постоянная величина, называемая коэффициентом сопротивления среды.

Уравнение колебаний:

Введем обозначения: тогда дифференциальное уравнение затухающего колебания:

где β – коэффициент затухания, ω₀ – собственная частота колебания. При отсутствии трения β=0, уравнение примет вид уравнения для свободных незатухающих колебаний. В результате решения уравнения (1) получим зависимость смещения х от времени, то есть уравнение затухающего колебательного движения:

Выражение называется амплитудой затухающего колебания. Амплитуда уменьшается по экспоненциальному характеру с течением времени и тем быстрее, чем больше коэффициент затухания. Огибающая на графике зависит от β. Чем она больше, тем круче огибающая, то есть колебания быстрее затухают (рис.10.1).

Рис.10

 

Рис.10.1

 

Путем подстановки функции (2) и ее производных по времени в уравнение (1), можно найти значение угловой частоты:

Период затухающих колебаний равен:

С увеличением трения период колебаний возрастает, а при β=ω₀ период T⇒∞. При дальнейшем увеличении b период становится мнимым, а движение точки апериодическим – выведенная из положения равновесия система возвращается в положение равновесия, не совершая колебаний (рис. 10.2).

Рис.10.2

 

Критическое затухание («успокоение») имеет большое значение в измерительных приборах, таких как баллистические гальванометры, которые испытывают резкие импульсивные воздействия в положении нулевого смещения.

Наглядной характеристикой затухания является отношение значений двух амплитуд, соответствующих промежутку времени в один период. Это отношение называют декрементом затухания θ:

Его натуральный логарифм есть безразмерная величина, называемая логарифмическим декрементом затухания:

Логарифмический декремент затухания – величина, обратная числу колебаний N, по истечении которых амплитуда колебаний уменьшается в е раз.

Промежуток времени , в течение которого амплитуда затухающего колебания убывает в е раз, называют временем релаксации.

Тогда выражение для логарифмического декремента затухания примет вид: или

Добротность колебательной системы: