Вынужденные колебания системы

Если сила, которая вывела систему из положения равновесия, продолжает действовать, то такое колебание не будет свободным, будет вынужденным. И эта сила называется возмущающей силой.

Рассмотрим колебательное движение под действием обобщенной возмущающей силы, изменяющейся по гармоническому закону , где - максимальная величина возмущающей силы; р – частота изменения силы; – начальная фаза изменения силы.

Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний получится таким

(15)

Решение этого линейного неоднородного дифференциального уравнения состоит из общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения. Общее решение уже было получено в (7) или (8). Частное решение ищем в виде

Подставив его в дифференциальное уравнение (15), получим

Отсюда

Значит полное решение уравнения (15)

(17)

Так как общее и частное решения совершаются с разными частотами, то вынужденные колебания не будут гармоническими. Но, как нам уже известно, общее решение определяет свободные колебания, которые с течением времени довольно быстро затухают. Поэтому интерес представляют только установившиеся колебания:

Отсюда следует, что установившиеся вынужденные колебания будут гармоническими с частотой р, равной частоте возмущающей силы и, что они не зависят от начальных условий.

И, самое интересное, – амплитуда колебаний А зависит от частоты р возмущающей силы. График этой зависимости дан на рис.7.

Рис.7

 

Первое, что надо отметить, при p = k (частота возмущающей силы равна частоте свободных колебаний) амплитуда увеличивается до бесконечности.

Это явление называется резонансом.

Как известно из курса высшей математики, при p = k решение (17) не будет удовлетворять уравнению (15). Частное решение надо искать в другом виде:

Подставив его в уравнение (15), получим:

Отсюда и частное решение, определяющее вынужденные колебания при резонансе, получится таким

Видим, что амплитуда колебаний беспредельно равномерно увеличивается (рис.8). Амплитуда не сразу становится бесконечно большой. И даже малая возмущающая сила может раскачать систему до больших амплитуд и вызвать разрушение конструкции.

Рис.8

 

Интересен еще один случай, при котором частота р возмущающей силы близка к частоте свободных колебаний, , но не равна ей.

Воспользуемся решением (17), положив для простоты . Пусть в начале движения координата и скорость равнялись нулю (при t = 0 q = 0 и ). Подставим эти начальные условия в уравнения

Получим два уравнения: 0=C₁ и 0=C₂k+Ap, из которых находим C₁=0, C₂=-Ap/k. Тогда уравнение колебаний

Так как и то, по (16),

Кроме того Уравнение движения получится таким

(20)

Рассматривая функцию, стоящую перед cospt, как амплитуду колебаний, замечаем, что она изменяется по гармоническому закону с периодом от нуля до максимального значения (рис.9).

Сами колебания совершаются с частотой р и периодом

Рис.9

 

Чем ближе частота возмущающей силы р к частоте k, т.е. чем ближе к резонансу, тем больше будет период амплитуды T_A и больше амплитуда A_max. И тем больше будет похож график на рис.9 на график на рис.8, изображающий колебания при резонансе. Эти колебания с периодически изменяющейся амплитудой называются биениями. Такое явление часто встречается, например, в радиотехнике.

Мы исследовали вынужденные колебания под действием возмущающей силы, изменяющейся по гармоническому закону. Но нередко она оказывается более сложной. Приходится использовать специальные математические методы, чтобы получить более-менее точный результат.

Если возмущающая сила периодическая и ее можно разложить в ряд Фурье, то решение может оказаться не очень сложным.

Пусть возмущающая сила описывается периодической функцией Q = Q (t) с периодом , р – частота изменения этой функции. И пусть конструкция ее позволяет разложить функцию в ряд Фурье:

где Q_j и - коэффициенты Фурье, определяемые по специальным формулам.

Частное решение дифференциального уравнения (15) получится в виде ряда:

Количество s членов этого ряда стараются иметь не очень большим, если ряд хорошо сходится.

Решение получается как сумма нескольких синусоид («гармоник») с кратными частотами. Наименьшая частота р – называется основной частотой.

Интересно, что в полученном решении возможно несколько резонансов, столько, сколько гармоник: при p = k, p=k/2, p=k/3 и т.д.