Метод проектирования на оси координат

Запишем уравнение (1) в проекциях на оси координат:

Σx=0: mv=m₂∙v_2x,

Σy=0: 0=-m₁v₁+m₂∙v_2y.

откуда выразим проекции скорости второго осколка:

По теореме Пифагора находим скорость

тангенс угла наклона вектора скорости к оси х

 

Пример 11. Человек массой m₁ находится на неподвижной платформе массой m₂. С какой угловой скоростью ω начнет вращаться платформа, если человек будет двигаться по окружности радиусом r вокруг оси вращения? Скорость движения человека относительно платформы равна v ₀. Радиус платформы R. Считать платформу однородным диском, а человека - материальной точкой.

Рис.6.6

 

Решение. В начальном состоянии (состояние I) система тел “человек + платформа” неподвижна. При движении человека со скоростью v₀ относительно платформы против часовой стрелки платформа начинает вращаться по часовой стрелке (состояние II) с угловой скоростью ω.

На систему действуют внешние силы тяжести и реакции со стороны оси, направленные вертикально (трением в оси пренебрегаем), их момент равен нулю. Поэтому можно применит закон сохранения момента импульса.

В состоянии I момент импульса системы равен нулю:

L_I=0.

В состоянии II момент импульса человека (материальной точки) равен по модулю L₁=m₁v₁r, где v₁ - скорость человека относительно Земли, и направлен вертикально вверх. Момент импульса платформы (сплошного диска) равен по модулю L₂=J₂∙ω и направлен вертикально вниз. Суммарный момент импульса в проекции на ось, направленную вертикально вверх, равен:

L_II=L₁-L₂=m₁v₁r-J₂∙ω.

Здесь J₂ - момент инерции сплошного диска,

По закону сохранения момента импульса L_I=L_II имеем:

m₁v₁r-J₂∙ω=0. (1)

Выразим скорость v ₁ человека относительно Земли через скорость v ₀ человека относительно платформы. Поскольку линейная скорость точек платформы, находящихся на расстоянии r от оси вращения равна v =ωr, то v ₁= v ₀-ωr.

Перепишем (1) в виде

откуда получим выражение для угловой скорости:

 

Пример 12. Два резиновых диска с шероховатой поверхностью вращаются вокруг осей, лежащих на одной вертикали, причем поверхности дисков параллельны. Первый диск обладает моментом инерции J₁ и угловой скоростью ω₁, второй - J₂ и ω₂. Определить угловую скорость дисков при падении верхнего диска и соединении его с нижним, а также изменение их суммарной кинетической энергии.

Решение. Два диска образуют систему взаимодействующих тел. На них действуют внешние силы тяжести и реакции со стороны оси, а также внутренняя сила трения. Поскольку моменты внешних сил относительно оси вращения равны нулю, можно применить закон сохранения момента импульса.

В начальном состоянии момент импульса системы равен

L_I=J₁ω₁±J₂ω₂.

Знак “плюс” применяется в случае, когда диски вращаются в одном направлении, знак “минус” - в противоположных направлениях.

При соединении вследствие силы трения угловая скорость дисков становится одинаковой, а момент импульса системы принимает значение:

L_II=(J₁+J₂)ω.

По закону сохранения импульса L_I=L_II получаем выражение

J₁ω₁±J₂ω₂=(J₁+J₂)ω,

откуда угловая скорость после соединения оказывается равной

Кинетическая энергия дисков в начальном состоянии составляет

в конечном состоянии –

Изменение суммарной кинетической энергии системы, равное количеству выделившегося тепла, составит

∆ W = W _I- W _II.

Подставляя в последнее выражение формулы (2) и (3) и учитывая (1), окончательно получим:

Знак “минус” применяется в случае, когда диски вращаются в одном направлении, знак “плюс” - в противоположных направлениях.

 

Пример 13. Момент импульса тела относительно неподвижной оси изменяется по законам: а) б) . Как изменяется момент сил, действующих на тело, в каждом случае?

Решение. Основное уравнение динамики вращательного движения кроме формы M=Jε может иметь вид Поэтому для ответа на заданный вопрос можно продифференцировать выражения момента импульса, заданные в условии задачи. В случае “а” поэтому с течением времени вращающий момент уменьшается. В случае “б” , с течением времени вращающий момент возрастает.

 

Вопросы для самопроверки

- Что называется количеством движения механической системы?

- Как формулируется теорема об изменении количества движения системы?

- Запишите математическое выражение теоремы об изменении количества движения механической системы в дифференциальной и интегральной форме.

- В каком случае количество движения механической системы не изменяется?

- Как определяется импульс переменной силы за конечный промежуток времени? Что характеризует импульс силы?

- Чему равны проекции импульса постоянной и переменной силы на оси координат?

- Чему равен импульс равнодействующей?

- Как изменяется количество движения точки, движущейся равномерно по окружности?

- Что называется количеством движения механической системы?

- Чему равно количество движения маховика, вращающегося вокруг неподвижной оси, проходящей через его центр тяжести?

- Сформулируйте теоремы об изменении количества движения материальной точки и механической системы в дифференциальной и конечной формах. Выразите каждую из этих четырех теорем векторным уравнением и тремя уравнениями в проекциях на оси координат.

- При каких условиях количество движения механической системы не изменяется? При каких условиях не изменяется его проекция на некоторую ось?

- Почему происходит откат орудия при выстреле?

- Могут ли внутренние силы изменить количество движения системы или количество движения ее части?

- Что называют телом переменной массы?

- Кем созданы основы механики тел переменной массы?

- Какой вид имеет основное уравнение динамики точки переменной массы? В каком случае оно имеет вид основного уравнения динамики точки постоянной массы?

- От каких факторов зависит скорость свободного движения ракеты?

- Зависит ли конечная скорость ракеты от времени сгорания топлива?

- Что называется кинетическим моментом механической системы? Какова его размерность?

- Чему равен кинетический момент вращающегося твердого тела относительно оси вращения?

- Как выражается производная по времени от кинетического момента системы относительно точки?

- В каких случаях кинетический момент системы относительно точки и относительно оси остается постоянным?

- Что называют кинетическим моментом механической системы относительно центра или оси?

- Сформулируйте теорему об изменении кинетического момента механической системы относительно центра и относительно оси?

- При каких условиях остается постоянным кинетический момент механической системы относительно центра и при каких – кинетический момент относительно оси?

- Какова кинетическая интерпретация теоремы об изменении кинетического момента механической системы относительно центра?

- Почему трудно прыгнуть на берег с легкой лодки, а такой же прыжок с парохода легко осуществить?

- Покоящийся шар получает центральный удар от другого такого же шара. Когда первый шар приобретает большую скорость - при упругом или неупругом ударе?