Области применения статистического моделирования

Статистическое моделирование широко применяется для решения задач из различных областей человеческого знания. Среди них такие актуальные области как биология, химия, физика, экономика и другие.

Среди задач, где может быть использован и часто используется этот подход, часто указывают следующие задачи:

- численное интегрирование,

- расчеты в системах массового обслуживания,

- расчеты качества и надежности изделий,

- расчеты прохождения нейтронов сквозь пластину,

- передача сообщений при наличии помех,

- задачи теории игр,

- задачи динамики разреженного газа,

- задачи дискретной оптимизации,

- задачи финансовой математики (оценивание опционов и др.)

и многие другие.

 

 

Глава 3. Вычисление интегралов методом Монте-Карло.

Способ усреднения подынтегральной функции.

 

В качестве оценки определённого интеграла принимают

,

где n – число испытаний; - возможные значения случайной величины X, распределённой равномерно в интервале интегрирования , их разыгрывают по формуле , где - случайное число.

Дисперсия усредняемой функции равна

,

где , . Если точное значение дисперсии вычислить трудно или невозможно, то находят выборочную дисперсию (при n>30) , или исправленную дисперсию (при n<30) , где .

Эти формулы для вычисления дисперсии применяют и при других способах интегрирования, когда усредняемая функция не совпадает с подынтегральной функцией.

В качестве оценки интеграла , где область интегрирования D принадлежит единичному квадрату , , принимают

, (*)

где S – площадь области интегрирования; N – число случайных точек , принадлежащих области интегрирования.

Если вычислить площадь S трудно, то в качестве её оценки можно принять ; в этом случае формула (*) имеет вид

,

где n – число испытаний.

В качестве оценки интеграла , где область интегрирования V принадлежит единичному кубу , , , принимают , где V – объём области интегрирования, N – число случайных точек , принадлежащих области интегрирования.

Если вычислить объём трудно, то в качестве его оценки можно принять , в этом случае формула (**) имеет вид , где n – число испытаний.

Задача: найти оценку определённого интеграла .

Решение. Используем формулу . По условию, a=1, b=3, . Примем для простоты число испытаний n=10.Тогда оценка , где возможные значения разыгрывается по формуле .

Результаты десяти испытаний приведены в таблице 1.

Случайные числа взяты из таблицы приложения.

 

 

Таблица 1.

Номер i
	0,100 0,973 0,253 0,376 0,520 0,135 0,863 0,467 0,354 0,876	1,200 2,946 1,506 1,752 2,040 1,270 2,726 1,934 1,708 2,752	2,200 3,946 2,506 2,752 3,040 2,270 3,726 2,934 2,708 3,752

 

Из таблицы 1 находим . Искомая оценка