Приведение квадратичных форм к каноническому виду

Прежде чем приступить непосредственно к указанному вопросу, необходимо вспомнить материал о билинейных функциях (формах).

Определение 1. Пусть L – линейное пространство над полем K (для изложения вопроса достаточно считать, что поле скаляров – R – действительные числа). Функция называется билинейной функцией, если она линейна по каждому аргументу, то есть:

(1) ,

(2) для любых векторов и любых скаляров .

Пусть L имеет размерность n, - базис L. Обозначим .

Определение 2. Матрицу называют матрицей билинейной функции b в базисе .

Координатная запись. Пусть , тогда

(3), где

, , , а .

Определение 3. Запись билинейной функции в виде многочлена (3) называют билинейной формой. (По традиции, термин «билинейная форма» используется и для билинейной функции, не записанной в координатах.)

Утверждение 1. Пусть и - два базиса пространства L, S – матрица перехода от базиса к базису , B, B’ – матрицы билинейной формы b в базисах соответственно. Тогда . (4)

Из формулы (4) следует, что ранг матрицы B и знак ее определителя (если он не равен 0) не зависят от выбора базиса.

Определение 4. Билинейная форма называется симметрической, если .

Утверждение 2. Матрица симметрической билинейной формы в любом базисе является симметрической, т.е. .

Определение 4. Квадратичной функцией (формой), порожденной симметрической билинейной формой , называется функция .

Утверждение 3. Для любой квадратичной функции существует единственная симметрическая билинейная форма такая, что .

Доказательство. Имеем .

Матрицей квадратичной формы называют матрицу породившей ее симметрической билинейной формы. Рассмотрим к оординатную запись квадратичной формы. Пусть , тогда

(3), где

, , , а .

С учетом симметричности коэффициентов квадратичной формы, ее можно записать в виде

.

Определение 5. Квадратичная форма вида называется диагональной.

Она называется канонической, если . Более детально,

. Числа p и q называются положительным и отрицательным индексами инерции квадратичной формы.

Теорема 1. (О приведении квадратичной формы к каноническому виду) Для любой квадратичной формы существует такая невырожденная замена переменных , что в новых переменных она принимает канонический вид .

Теорема 2 (о единственности – закон инерции). Если - другая замена переменных, приводящая квадратичную форму к каноническому виду , то , причем .

Теорему 2 оставим без доказательства, только заметим, что равенство следует из сохранения ранга матрицы B при замене базиса.

Доказательство теоремы 1 – алгоритм Лагранжа выделения полных квадратов.

1) Допустим, что , при необходимости перенумеровав переменные, можем считать, что . Тогда выделим в квадратичной форме все одночлены, содержащие x ₁, и дополним это выражение до квадрата: Тогда сделаем замену

Квадратичная форма не зависит от x₁, и к ней можно применить тот же метод, в результате получится квадратичная форма .

Остается сделать замену

2) Препятствие к выделению квадратов может возникнуть, если . Так как

Пусть . Перенумеровав при необходимости переменные, можем добиться, чтобы . Тогда сделаем подготовительную замену и где в нет . Далее можно продолжать, как в п. 1). ð

(Замечание. Вместо параметров p и q, введенных выше, нередко рассматривают величины r=p+q – ранг В и - сигнатуру.)